I. Tỉ lệ thức

Hoạt động khám phá 1: Cho hai máy tính xách tay (laptop) có kích thước màn hình (tính theo đơn vị mm) lần lượt 227,6 x 324 và 170,7 x 243. Tính tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của mỗi màn hình.

Lời giải tham khảo:

Tỉ  giữa chiều rộng và chiều dài của mỗi màn hình là:

• &\frac{227,6}{324}=\frac{569}{810}&
• &\frac{170,7}{243}=\frac{569}{810}&

Thực hành 1:

a. Từ các tỉ số $\frac{6}{5}:2$ và $\frac{12}{5}:4$ có lập được một tỉ lệ thức hay không?

b. Hãy lập hai tỉ lệ thức từ 4 số: 9; 2; 3; 6

Lời giải tham khảo:

a. Từ các tỉ số $\frac{6}{5}:2$ và $\frac{12}{5}:4$ ta có lập được một tỉ lệ thức.

b. $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$

$\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$

Hoạt động khám phá 2:

a. Từ tỉ lệ thức $\frac{48}{64}=\frac{9}{12}$, ta nhân cả hai vế với 64.12 thì có kết quả gì?

b. Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, ta nhân cả hai vế với bd thì có kết quả gì?

Lời giải tham khảo:

a. Ta nhân cả 2 vế của $\frac{48}{64}=\frac{9}{12}$ với 64.12 thì được 48.12 = 9.64

b. Ta nhân cả 2 vế của $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ với bd thì được: ad = bc

Hoạt động khám phá 3: Từ đẳng thức 48 . 12 = 64 . 9, ta chia cả hai vế cho 64 . 12 thì có kết quả gì? Từ đẳng thức ad = bc, ta chia cả hai vế cho bd thì có kết quả gì?

Lời giải tham khảo:

Chia cả hai vế cho 64. 12 thì ta có kết quả $\frac{3}{4}$

Chia cả 2 vế cho bd ta có kết quả: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

2. Dãy tỉ số bằng nhau

Hoạt động khám phá 4: Các bạn Bình, Mai và Lan cùng thi giải nhanh các bài toán trong sách Bài tập toán 7. Trong một giờ, số bài làm được của mỗi bạn lần lượt là 4; 3; 5. Cô giáo thưởng cho mỗi bạn số hình dán lần lượt là 8; 6; 10. Hãy so sánh tỉ số giữa số hình dán được thưởng và số bài toán làm được của mỗi bạn

Lời giải tham khảo:

Ta có: $\frac{4}{8}=\frac{3}{6}=\frac{5}{10}$

⇒ Tỉ số giữa số hình dán được thưởng và số bài toán làm được của mỗi bạn Bình, Mai và Lan là bằng nhau.

Thực hành 2: Tìm x trong tỉ lệ thức $\frac{5}{3}=\frac{x}{9}$

Lời giải tham khảo:

$\frac{5}{3}=\frac{x}{9}$

⇔ 5.9 = 3.x

⇔ x =  5 . 9 : 3 

⇔ x = 15

Vậy x = 15 là giá trị cần tìm.

Thực hành 3: Cho biết ba số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 4; 6. Hãy ghi dãy tỉ số bằng nhau tương ứng.

Lời giải tham khảo:

$\frac{a}{2} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6}$

Hoạt động khám phá 5: Cho tỉ lệ thức $\frac{3}{7}=\frac{9}{21}$. Hãy tính các tỉ số $\frac{3+9}{7+21}$ và $\frac{3-9}{7-21}$ rồi so sánh chúng với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

Lời giải tham khảo:

$\frac{3+9}{7+21} = \frac{12}{28}= \frac{3}{7} $

So sánh:  $\frac{3}{7}=\frac{9}{21} = \frac{3+9}{7+21}.$

$\frac{3-9}{7-21} = \frac{-6}{-14}= \frac{9}{21}$.

So sánh:  $\frac{3}{7}=\frac{9}{21} = \frac{3-9}{7-21}$.

3. BÀI TẬP 

Bài 1 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau đây rồi lập các tỉ lệ thức:

7:21;      $\frac{1}{5}:\frac{1}{2}$;      $\frac{1}{4}:\frac{3}{4}$;     1,1:3,2;     1:2,5

Lời giải tham khảo:

Ta có: $\frac{1}{5}:\frac{1}{2}$ = 1:2,5, nên ta có tỉ lệ thức: $\frac{1}{5}:\frac{1}{2}$ = 1:2,5 hay $\frac{2}{5}=\frac{1}{2,5}$

Ta có: 7 : 21 = $\frac{1}{4}:\frac{3}{4}$, nên có tỉ lệ thức: 7 : 21 = $\frac{1}{4}:\frac{3}{4}$, hay $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$.

 Bài 2 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức sau: 

a) 3.(-20)=(-4).15

b) 0,8 . 8,4 = 1,4 . 4,8.

Lời giải tham khảo:

a) 3.(-20)=(-4).15

• $\frac{3}{-4}=\frac{15}{-20}$
• $\frac{3}{15}=\frac{-4}{-20}$
• $\frac{-20}{-4}=\frac{15}{3}$
• $\frac{-20}{15}=\frac{-4}{3}$

b) 0,8 . 8,4 = 1,4 . 4,8.

• $\frac{0,8}{1,4}=\frac{4,8}{8,4}$
• $\frac{0,8}{4,8}=\frac{1,4}{8,4}$
• $\frac{8,4}{4,8}=\frac{1,4}{0,8}$
• $\frac{8,4}{1,4}=\frac{4,8}{0,8}$

Bài 3 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Tìm hai số x, y biết rằng:

a. $\frac{x}{4}=\frac{y}{7}$ và x+y=55

b. $\frac{x}{8}=\frac{y}{3}$ và x-y=35

Lời giải tham khảo:

a) $\frac{x}{4}=\frac{y}{7}=\frac{x+y}{4+7}=\frac{55}{11}=5$

⇒ x = 5.4 = 20;

Mà x + y = 55 ⇒ y = 5. 7 = 35.

b) $\frac{x}{8}=\frac{y}{3}=\frac{x-y}{8-3}=\frac{35}{5}=7$

⇒ x = 7. 8 = 56

Mà x-y=35 ⇒ y = 7. 3 =21

Bài 4 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: 

a. Tìm hai số a, b biết rằng 2a = 5b và 3a + 4b = 46

b. Tìm ba số a, b, c biết rằng a : b : c = 2 : 4 : 5 và a + b - c = 3

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: 2a = 5b

⇒ $\frac{a}{5}=\frac{b}{2}$

Ta có: $\frac{a}{5}=\frac{3a}{15}; \frac{b}{2}= \frac{4b}{8}$

⇒ $\frac{3a}{15} = \frac{4b}{8} = \frac{3a+4b}{15+8} =  \frac{46}{23}$ =2

⇒ 3a = 2. 15 = 30 

⇒ a = 10

Mà 4b = 2. 8 = 16 ⇒ b = 4.

b) a : b : c = 2 : 4 : 5

⇒ $\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b-c}{2+4-5}=\frac{3}{1}$=3

⇒ a = 2. 3 = 6

Ta có:

• b = 4. 3 = 12
• c = 5. 3 = 15

Bài 5 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Tính diện tích của hình chữ nhật có chu vi là 28cm và độ dài hai cạnh tỉ lệ với các số 3; 4. 

Lời giải tham khảo:

Gọi a, b là kích thước của hình chữ nhật ($a, b \in \mathbb{N}$).

⇒ Chu vi hình chữ nhật là: 2.(a + b) = 28

⇒ a + b = 14.

Độ dài hai cạnh tỉ lệ với 3; 4 nên ta có: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$

⇒ $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}= \frac{a+b}{3+4}=\frac{14}{7}$=2

Ta có:

• a = 3. 2 = 6
• b = 4. 2 = 8

Bài 6 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Tại một xí nghiệp may, trong mỗi giờ cả ba tổ A, B, C làm được tổng cộng 60 sản phẩm. Cho biết số sản phẩm làm được của ba tổ A, B, C tỉ lệ với các số 3, 4, 5. Hỏi mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm trong 1 giờ.

Lời giải tham khảo:

Gọi số sản phẩm tổ A, B, C làm được trong 1 giờ lần lượt là a, b, c ($a, b, c\in \mathbb{N}$)

Theo đề bài ta có: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$ và a + b + c = 60

⇒  $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{3+4+5}=\frac{60}{12}$=5

Ta có: 

• a = 3. 5 = 15 
• b = 4. 5 = 20
• c = 5. 5 = 25.

Vậy tổ  A làm được 15 sản phẩm, tổ B làm được 20 sản phẩm còn tổ C làm được 25 sản phẩm.

Bài 7 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Một công ty có ba chi nhánh là A, B, C. Kết quả kinh doanh trong tháng vừa qua ở các chi nhánh A và B có lãi còn chi nhánh C lỗ. Cho biết số tiền lãi, lỗ của ba chi nhánh tỉ lệ với các số 3, 4, 2. Tìm số tiền lãi, lỗ của mỗi chi nhánh trong tháng vừa qua, biết rằng trong tháng đó công ty lãi được 500 triệu đồng.

Lời giải tham khảo:

Gọi số tiền lãi của các chi nhanh A, B lần lượt là: a, b; số tiền lỗ của chi nhánh C là c. (a, b, c > 0)

Theo đề bài ta có: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{2}$ và a + b - c = 500.

⇒ $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{2}= \frac{a+ b-c}{3+4-2}=\frac{500}{5}$ =100 

Ta có: 

• a = 3. 100 = 300
• b = 4.100 = 400
• c = 2.100 = 200.

Vậy chi nhánh A lãi 300 triệu, chi nhánh B lãi 500 triệu còn chi nhánh C lỗ 200 triệu.

Bài 8 trang 11 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ta suy ra được các tỉ lệ thức sau:

a) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ 

b) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ 

c) $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ (các mẫu số phải khác 0).

Lời giải tham khảo:

a) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 

⇒ $\frac{a}{b}+1 = \frac{c}{d}+1$ 

⇒  $\frac{a}{b}+\frac{b}{b} = \frac{c}{d}+\frac{d}{d}$ 

⇒ $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ 

Vậy $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.

b) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 

⇒ $\frac{a}{b}-1 = \frac{c}{d}-1$ 

⇒  $\frac{a}{b}-\frac{b}{b} = \frac{c}{d}-\frac{d}{d}$ 

⇒ $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ 

Vậy $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

c)  TH1: a = c = 0 thì biểu thức $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ luôn đúng (các mẫu số phải khác 0).

TH2: $a, c\neq 0$ thì ta chứng minh: $\frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c}$

Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$, theo tính chất chứng minh ở câu a có: $\frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c}$

⇒ $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$.

Vậy $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ (các mẫu số phải khác 0).