KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của hình tam giác đó. Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?

Lời giải tham khảo:

Ba nếp gấp trong hình 109 cắt nhau tại 1 điểm.

I. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Hoạt động 1: Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?

Lời giải tham khảo:

Điểm D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC.

Luyện tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.

Lời giải tham khảo:

Vì ∆ABC cân tại A

=> $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$(theo tính chất của tam giác cân)

Xét ∆ABD và ∆ACD ta có:

• $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (gt);
• AB = AC(gt);
• $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$(cmt)

=> ∆ABD = ∆ACD (g.c.g)

=> BD = CD

=> AD là trung tuyến của cạnh BC của ∆ABC (đpcm)

II. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Hoạt động 2: Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Lời giải tham khảo:

Ba đường phân giác AD, BE, CK có cùng đi qua một điểm.

Luyện tập 2: Tìm số đo x trong hình 115

Lời giải tham khảo:

Trong ∆ABC có BI và CI lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C mà BI và CI cắt nhau tại I

=> I là giao của 3 đường phân giác trong ∆ABC

=> x = $\widehat{IAC} = 30^{0}$

Hoạt động 3: Quan sát giao điểm I của ba đường phân giác trong tam giác ABC và so sánh độ dài ba đoạn thẳng IM, IN, IP

Lời giải tham khảo:

Ta có: IM = IN = IP

III. BÀI TẬP

Bài 1 trang 111 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a. Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b. Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Lời giải tham khảo:

a) ∆có I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh của ∆ABC.

=> IM = IN = IP.

Vì IM = IN => ∆IMN cân tại I.

Vì IN = IP => ∆INP cân tại I.

Vì IP = IM => ∆IPM cân tại I.

b) Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:

• AI chung.
• IP = IN (theo giả thiết).

=> ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> AP = AN (2 cạnh tương ứng).

Xét ∆ANP có AP = AN 

=> ∆ANP cân tại A.

Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:

• BI chung.
• IP = IM (theo giả thiết).

=> ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> BP = BM (2 cạnh tương ứng).

Xét ∆BPM có BP = BM

=> ∆BPM cân tại B.

Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:

• CI chung.
• IM = IN (theo giả thiết).

=> ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> CM = CN (2 cạnh tương ứng).

∆CMN có CM = CN 

=> ∆CMN cân tại C.

Bài 2 trang 111 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh $\widehat{BIC}=90^{0}+\frac{\widehat{A}}{2}$

Lời giải tham khảo:

I là giao điểm của 2 đường phân giác góc B và góc C

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{0}$

=> $\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2} $=90^{0}$

=> $\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}$ = $90^{0}-\frac{\widehat{A}}{2}$

Trong ∆BIC có: 

$\widehat{BIC}=180^{0}-(\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2})$ = $90^{0}+\frac{\widehat{A}}{2}$

Vậy $\widehat{BIC}=90^{0}+\frac{\widehat{A}}{2}$

Bài 3 trang 111 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và C và tia phần giác trong của góc A cắt nhau tại 1 điểm. 

Lời giải tham khảo:

Gọi I là giao điểm 2 phân giác góc B và góc C

Từ I kẻ IT⊥AB, ID⊥BC, IF⊥AC

Theo tính chất tia phân giác ta có: IE = ID và ID = IF

=> IE = IF

=> Hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và C và tia phần giác trong của góc A cắt nhau tại 1 điểm.