1. Hình bình hành và tính chất

Hoạt động 1 trang 57 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Trong hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào? Em có thể giải thích tại sao không?

Lời giải tham khảo:

Trong hình 3.28, hình c) là hình bình hành vì tứ giác ABCD có các cặp cạnh song song với nhau.

Hoạt động 2 trang 58 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em biết

Lời giải tham khảo:

Các tính chất hình bình hành mà em biết là:

• Các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
• Các cặp góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hoạt động 3 trang 58 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hình bình hành ABCD (H.3.30)

a) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA. Từ đó suy ra AB = CD, AD = BC và $\widehat{ABC} = \widehat{CDA}$

b) Chứng minh ∆ABD = ∆CDB. Từ đó suy ra $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$

c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O. Chứng minh ∆AOB = ∆COD. Từ đó suy ra OA = OC, OB = OD

Lời giải tham khảo:

a) Xét ∆ABC và ∆CDA ta có:

• $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (hai góc so le trong, AB // CD)
• AC chung
• $\widehat{ACB} = \widehat{CAB}$ (hai góc so le trong, AD // BC)

⇒ ∆ABC = ∆CDA (g.c.g)

⇒ AB = CD, AD = BC và $\widehat{ABC} = \widehat{CDA}$

b) Xét ∆ABD và ∆CDB ta có:

• $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$ (hai góc so le trong, AB // DC)
• BD chung
• $\widehat{ADB} = \widehat{CBD}$ (hai góc so le trong, AD // BC)

⇒ ∆ABD = ∆CDB (g.c.g)

⇒ $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$

c) Xét ∆AOB và ∆COD ta có:

• $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (hai góc so le trong, AB // DC)
• AB = CD (cmt)
• $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (hai góc so le trong, AB // DC)

⇒ ∆AOB = ∆COD (g.c.g)

⇒ OA = OC, OB = OD

Luyện tập 1 trang 58 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn AM.

Lời giải tham khảo:

Xét tứ giác APMN có:

• MN // AP (vì MN // AB)
• MP // AN (vì MP // AC)

⇒ Tứ giác APMN là hình bình hành.

⇒ Hai đường chéo AM, NP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường mà I là trung điểm của đoạn NP

⇒ I là trung điểm của đoạn thẳng AM.

2. Dấu hiệu nhận biết

Luyện tập 2 trang 60 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32)

a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: 

• $\widehat{ADE} = \widehat{EDC}$ (DE là phân giác góc D)
• $\widehat{AED} = \widehat{EDC}$ (so le trong)

⇒ $\widehat{AED} = \widehat{ADE}$

⇒  ∆ADE cân

Cmtt ta có: ∆CBF cân

b) Xét ∆ADE và ∆CBF ta có:

• AD = CB
• $\widehat{A} = \widehat{B}$
• AE = CF

⇒ ∆ADE = ∆CBF (c.g.c) 

⇒ DE  = BF (1)

Ta có: 

• $\widehat{EDF} = \widehat{CBF}$,
• $\widehat{CBF} = \widehat{CFB}$

⇒ $\widehat{EDF} = \widehat{CFB}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị 

⇒ DE // BF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BEBF là hình bình hành

Luyện tập 3 trang 61 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A', B' là các điểm sao cho O là trung điểm của AA', BB'. Chứng minh rằng A'B' = AB và đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB.

Lời giải tham khảo:

Ta có hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB mà O là trung điểm của AA’, BB’ 

⇒ O là trung điểm của hai đường chéo của tứ giác ABA’B’.

⇒ Tứ giác ABA’B’ là hình bình hành.

⇒ A’B’ = AB (định lí 1a) và A’B’ // AB (định nghĩa hình bình hành).

3. Bài tập

Bài tập 3.13 trang 61 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?

a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành

b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành

c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành

Lời giải tham khảo:

a) Khẳng định đúng, vì khi hình thang có hai cạnh bên song song ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (định nghĩa)

b) Khẳng định sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng chưa đủ điều kiện  là hình bình hành.

c) Khẳng định đúng, vì khi tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành (định nghĩa)

Bài tập 3.14 trang 61 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.35.

Lời giải tham khảo:

$\widehat{C} = \widehat{A}$ = 100°

$\widehat{D} = \widehat{B}$ = 180° - $\widehat{A}$ = 180° - 100° = 80°

Bài tập 3.15 trang 61 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh BF = DE.

Lời giải tham khảo:

Ta có: 

• AB = CD (tính chất hình bình hành)
• EB = $\frac{1}{2}$ AB (gt)
• FD = $\frac{1}{2}$ CD (gt)

⇒ EB = FD mà AB // CD (gt)

⇒ BE // FD 

Xét tứ giác ABCD có EB = FD, BE//FD 

⇒ Tứ giác BEDF là hình bình hành

⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)

Bài tập 3.16 trang 61 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: $\widehat{D}$ = 80°, tứ giác ABCD là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau.

b) Ta có: $\widehat{B}$ = 120°, tứ giác ABCD không là hình bình hành vì có cặp góc đối không bằng nhau.

c) Ta có: $\widehat{C}$ = 70°, tứ giác ABCD là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau.

Bài tập 3.17 trang 61 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành

b) EF = AD, AF = EC

Lời giải tham khảo:

a) Vì ABCD là hình bình hành ⇒ AB = CD, AB // CD mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD 

⇒ AE = BE =  $\frac{1}{2}$AB, CF = DF = $\frac{1}{2}$CD

⇒ AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

• AE // DF (vì AB // CD);
• AE = DF (cmt)

⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

• AE // CF (vì AB // CD);
• AE = CF (cmt)

⇒ Tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành ⇒ EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Bài tập 3.18 trang 61 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh ∆OAM = ∆OCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành

Lời giải tham khảo:

Xét ∆OAM và ∆OCN ta có:

• $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$ (đối đỉnh)
• OA = ON
• $\widehat{OAM} = \widehat{OCN}$ (so le trong)

⇒ ∆OAM = ∆OCN (g.c.g)  

⇒ AM = CN mà AB = CD, 

⇒ MB = ND

Ta có : MB = ND, MB// ND 

⇒ Tứ giác MBND là hình bình hành