KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB. Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP.

Lời giải tham khảo:

Ba đường thẳng AM, BN, CP cùng đi qua trực tâm của ΔABC.

I. ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

Hoạt động 1: Cho tam giác ABC (Hình 133). Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC.

Lời giải tham khảo:

Luyện tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy đọc tên đường cao đi qua B, đường cao đi qua C

Lời giải tham khảo:

Trong ΔABC vuông tại A đường cao đi B là AB

Trong ΔABC vuông tại A đường cao đi qua C là AC

II. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CỦA TAM GIÁC

Hoạt động 2: Quan sát ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cho biết 3 đường cao đó có cùng đi qua 1 điểm hay không?

Lời giải tham khảo:

3 đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC có cùng đi qua 1 điểm.

Luyện tập 2: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải tham khảo:

Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác nên theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

III. BÀI TẬP

Bài 1 trang 118 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng

a. AH và BC

b. BH và CA

c. CH và AB

Lời giải tham khảo:

a) H là trực tâm của ΔABC => AH ⊥ BC.

b) H là trực tâm của ΔABC => BH ⊥ CA.

c) H là trực tâm của ΔABC => CH ⊥ AB.

Bài 2 trang 118 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:

a. Tam giác ABC nhọn

b. Tam giác ABC vuông tại A

c. Tam giác ABC có góc A tù

Lời giải tham khảo:

a) ΔABC nhọn:

Ta thấy H nằm trong ΔABC.

b) ΔABC vuông tại A:

Ta thấy trong ΔABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

=> AB và AC là hai đường cao của ΔABC mà AB cắt AC tại A 

=> A là trực tâm của ΔABC.

=> A trùng H.

c) ΔABC có góc A tù:

Ta thấy H nằm ngoài ΔABC.

Bài 3 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.

Lời giải tham khảo:

ΔABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA mà DA cắt DB tại D 

=> D là trực tâm của tam giác ABC.

=> DC ⊥ AB.

Bài 4 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, \(\widehat {HCA} = 25^\circ\). Tính \(\widehat {BAC}\)và \(\widehat {HBA}\).

Lời giải tham khảo:

Xét ΔAFC có: \(\widehat {HCA} = 25^\circ \); \(\widehat {AFC} = 90^\circ \) (vì CF vuông góc với AB).

=> \(\widehat {FAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ  - 25^\circ  = 65^\circ \).

Xét ΔAEB có: \(\widehat {BAC} = 65^\circ \); \(\widehat {AEB} = 90^\circ\) (vì BE vuông góc với AC).

=>\(\widehat {ABE} = \widehat {HBA} = 90^\circ  - 65^\circ  = 25^\circ \).

Bài 5 trang 118 SGK Toán 7 tập 2:  Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.

Lời giải tham khảo:

Vì AD // BC, mà K ∈ ∈ AD, H ∈ ∈ BC 

=> AK // CH 

Vì CK⊥AD;BC//AD 

=> CK⊥BC 

Mà AH⊥BC ⇒ AH//CK

Bài 6 trang 118 SGK Toán 7 tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải tham khảo:

a)

Ta có:

• G là trọng tâm của ΔABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);
• H là trực tâm của ΔABC (giao điểm của ba đường cao);
• I là giao điểm của ba đường phân giác của ΔABC;
• O là giao điểm của ba đường trung trực của ΔABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).

Mà ΔABC đều 

=> Trong ΔABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.

Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu ΔABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.

b) Giả sử trong ΔABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).

=> AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của ΔABC.

Xét ΔADB vàΔADC có:

• \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)
• AD chung;
• \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g).

=> AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)

Cmtt ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). 

=> AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) 

=> AB = BC = AC.

Vậy ΔABC đều hay nếu ΔABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì ΔABC là tam giác đều.