1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

Hoạt động 1 trang 77 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD nếu chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài. Với các độ dài đó hãy tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$

Lời giải tham khảo:

Chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài ⇒ MN = 1 (đvđd).

⇒ AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd).

⇒ $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Hoạt động 2 trang 77 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn AB và CD (đơn vị: cm) rồi dùng kết quả vừa đo để tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• AB = 4,8 cm
• CD = 14,4 cm

⇒ $\frac{AB}{CD}=\frac{4,8}{14,4}=\frac{1}{3}$

Hoạt động 3 trang 77 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: So sánh tỉ số tìm được trong hai hoạt động trên

Lời giải tham khảo:

Tỉ số tìm được ở hai hoạt động trên bằng nhau.

Luyện tập 1 trang 77 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Tìm tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) MN = 3 cm và PQ = 9 cm

b) EF = 25 cm và HK = 10 dm

Lời giải tham khảo:

a) $\frac{MN}{PQ}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

$\frac{PQ}{MN}=\frac{9}{3}=\frac{3}{1}$

b) Ta có: HK = 10 dm = 100 cm

$\frac{EF}{HK}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

$\frac{HK}{EF}=\frac{100}{25}=\frac{4}{1}$

Luyện tập 2 trang 78 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC và một điểm B' nằm trên cạnh AB. Qua điểm B', ta vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt AC tại C' (H.4.4). Dựa vào hình vẽ, hãy tính và so sánh các tỉ số sau và viết các tỉ lệ thức:

a) $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$

b) $\frac{AB'}{B'B}$ và $\frac{AC'}{C'C}$

c) $\frac{B'B}{AB}$ và $\frac{C'C}{AC}$

Lời giải tham khảo:

a) Ta có:

• $\frac{AB'}{AB}=\frac{2}{3}$
• $\frac{AC'}{AC}=\frac{2}{3}$

⇒ $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}$

b) Ta có:

• $\frac{AB'}{B'B}=2$
• $\frac{AC'}{C'C}=2$

⇒ $\frac{AB'}{B'B}=\frac{AC'}{C'C}$

c) Ta có:

• $\frac{B'B}{AB}=\frac{1}{3}$
• $\frac{C'C}{AC}=\frac{1}{3}$

⇒ $\frac{B'B}{AB}=\frac{C'C}{AC}$

2. Định lí Thales trong tam giác

Luyện tập 3 trang 79 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Tìm các độ dài x, y trong hình 4.6

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: MN // BC

⇒ $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

⇒ $\frac{6,5}{x}=\frac{4}{2}=2$

⇒ x = 3,25

b) Ta có: FE⊥PH, QH⊥PH 

⇒ FE//QH

⇒ $\frac{PE}{PH}=\frac{PF}{PQ}$

⇒ $\frac{4}{y}=\frac{5}{5+3,5}$

⇒ y = 6,8

Hoạt động 4 trang 79 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho $\Delta ABC$ có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AB lấy điểm B', trên cạnh AC lấy điểm C' sao cho AB' = 4 cm, AC' = 6 cm (H.4.7)

• So sánh các tỉ số $\frac{AB'}{AB$ và $\frac{AC'}{AC}$
• Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C''. Tính độ dài đoạn thẳng AC''.
• Nhận xét gì về hai điểm C', C'' và hai đường thẳng B'C', BC?

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• \frac{AB'}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
• \frac{AC'}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}

⇒ \frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}

Ta có: B'C'' // BC

⇒ $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC''}{AC}$

⇒ \frac{4}{6}=\frac{AC''}{9}$

⇒ AC'' = 6

Trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AC’ = 6 cm.

Đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’ 

⇒ Điểm C’’ nằm trên cạnh AC sao cho AC’’ = 6 cm.

⇒ C’三C’’.

Vì C’三C’’ mà B’C’’ // BC 

⇒ B’C’ // BC.

3. Bài tập

Bài tập 4.1 trang 80 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: HK // QE

⇒ $\frac{HQ}{PH}=\frac{KE}{PK}$

⇒ $\frac{4}{6}=\frac{x}{8}$ 

⇒ x = 5,3

b) Ta có: $\widehat{AMN}=\widehat{MBC}$ (hai góc đồng vị) 

⇒ MN//BC 

⇒ $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

⇒ $\frac{y}{6,5}=\frac{8}{11-8}$

⇒ y = 17,3

Bài tập 4.2 trang 80 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích vì sao chúng song song với nhau

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: $\frac{ME}{EN}=\frac{MF}{FP}=\frac{2}{3}$

⇒ EF//NP

b) Ta có: $\frac{QM}{MH}=\frac{QE}{EK}=\frac{2}{3}$

⇒ ME//HK

Bài tập 4.3 trang 80 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh rằng $\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=1$

Lời giải tham khảo:

Xét ∆ABC có DE//AC

⇒ $\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{CB}$ (1)

Xét ∆ABC có DF // AB (gt)

⇒ $\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (2)

Cộng các vế tương ứng của (1) và (2), ta có:: $\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{CB}+\frac{BD}{BC}$

$=\frac{CD+BD}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Bài tập 4.4 trang 80 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng $BM=\frac{1}{3}BC$

Lời giải tham khảo:

Kẻ AE là đường trung tuyến của ∆ABC, E∈BC

Vì G là trọng tâm của ∆ABC (gt) 

⇒ ta có : $AG=\frac{2}{3}AE 

⇒ \frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$

Xét ∆ABE có GM//AB (G∈AE; M ∈BE vì M∈BC mà E∈BC)

⇒ $\frac{BM}{BE}=\frac{AG}{AE}$ ( áp dụng định lý Ta-lét ) mà $\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ (cmt)

⇒ $\frac{BM}{BE}=\frac{2}{3}$ mà AE là đường trung tuyến của ∆ABC (E ∈BC) 

⇒ E là trung điểm của BC

⇒ BE = EC và BE + EC = BC

⇒ $\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{BE+EC}=\frac{2}{2BE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

⇒ $BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm)

Bài tập 4.5 trang 80 SGK Toán 8 tập 1 Kết nối tri thức: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí , F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.11). Sau đó bác An đo được khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

Lời giải tham khảo:

Xét ∆ABC có: AB // EF 

⇒ $\frac{EB}{CE}=\frac{AF}{FC}$

⇒ $\frac{EB}{30}=\frac{40}{20}$

⇒ EB = 60 (cm)