1. TAM GIÁC CÂN VÀ TÍNH CHẤT

Câu hỏi: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Lời giải tham khảo:

ΔABD cân tại đỉnh A có:

• AB, AD là 2 cạnh bên, BD là cạnh đáy
• $\widehat{B}$; $\widehat{D}$ là 2 góc ở đáy
• $\widehat{A}$ là góc ở đỉnh

ΔADC cân tại A có:

• AC, AD là 2 cạnh bên, DC là cạnh đáy
• $\widehat{C}$; $\widehat{D}$ là 2 góc ở đáy
• $\widehat{A}$ là góc ở đỉnh

ΔABC cân tại A có:

• AB, AC là 2 cạnh bên, BC là cạnh đáy
• $\widehat{C}$; $\widehat{B}$là 2 góc ở đáy
• $\widehat{A}$là góc ở đỉnh

Hoạt động 1: Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a. Chứng minh rằng ΔABD = ΔACD theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

b. Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Lời giải tham khảo:

a. Xét ΔABD và ΔACD có:

• AB=AC
• AD chung
• BD=DC

⇒ ΔABD = ΔACD (c.c.c)

b. Ta có ΔABD = ΔACD 

⇒ $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$ ( 2 góc tương ứng)

Hoạt động 2: Cho tam giác MNP có $\widehat{M}$= $\widehat{N}$.  Vẽ tia phân giác PK của tam giác MNP (K∈MN).

Chứng minh rằng:

a. $\widehat{MKP}$= $\widehat{NKP}$

b.  $\Delta$MPK= $\Delta$NPK

c. Tam giác MNP có cân tại P không?

Lời giải tham khảo:

a. Áp dụng định lý tổng 3 góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$, ta có:

• $\widehat{NKP}$ = $180^{\circ}$- $\widehat{PMK}$ - $\widehat{MPK}$
• $\widehat{NKP}$ = $180^{\circ}$- $\widehat{PNK}$ - $\widehat{NPK}$

Theo giả thuyết ta có: $\widehat{PMK}$ = $\widehat{PNK}$ và $\widehat{MPK}$ = $\widehat{NPK}$ (PK là tia phân giác của tam giác MNP)

⇒ $\widehat{NKP}$ = $\widehat{NKP}$

b. Xét ΔMPK vả ΔNPK, ta có :

• $\widehat{NKP}$ = $\widehat{NKP}$
• PK chung
• $\widehat{PMK}$ = $\widehat{PNK}$

⇒ΔMPK = $\Delta$NPK (g-c-g)

c. Từ b ta có MP=NP 

⇒ ΔPMN cân tại  P

Luyện tập 1: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Lời giải tham khảo:

ΔDEF có 2 cạnh FE= FD 

⇒ ΔDEF cân tại F

⇒ $\widehat{FED}$ = $\widehat{FDE}$ = $60^{\circ}$ ( 2 góc ở đáy)

Áp dụng định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng $180^{\circ}$ ta có:

⇒ $\widehat{DFE}$= $180^{\circ}$ - $60^{\circ}$- $60^{\circ}$ = $60^{\circ}$

⇒ ΔDEF cũng cân tại D 

⇒ DE= DF = 4cm

Thử thách nhỏ: Một tam giác có gì đặc biệt nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a. Tam giác có ba góc bằng nhau?

b. Tam giác cân có một góc bằng 60°?

Lời giải tham khảo:

a. Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

b. Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều

2. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Hoạt động 3: Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB. Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.

a. Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b. Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Lời giải tham khảo:

a. O là trung điểm của đoạn thẳng AB

b. Dùng thước đo góc ta thấy d ⊥ AB.

Câu hỏi: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Lời giải tham khảo:

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó nên hình (a) Lan vẽ đúng.

Hoạt động 4: Trên mảnh giấy trong Hành động 3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Lời giải tham khảo:

Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d dùng thước kiểm tra ta thấy AM = BM.

Luyện tập 2: Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và $\widehat{MAB} = 60^{\circ}$ (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Lời giải tham khảo:

Vì M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB 

⇒ MA=MB=3cm.

⇒ ΔMAB cân tại M.

$\widehat{A}$= $\widehat{B}$  = $60^{\circ}$ 

⇒ $\widehat{AMB}$ = $180^{\circ}$ - $60^{\circ}$ - $60^{\circ}$ = $60^{\circ}$

⇒ ΔMAB là tam giác đều

⇒ AB= AM = 3cm

3. BÀI TẬP 

Bài 4.23 trang 84 toán 7 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC; BF vuông góc với AB ( hình 4.69 ). Chứng minh rằng BE = CF. 

Lời giải tham khảo:

Vì ΔABC cân tại A 

⇒$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Xét ΔBFC vuông tại F và ΔCEB vuông tại E:

• $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$
• BC chung

⇒ ΔBFC = ΔCEB (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BE = CF (2 cạnh tương ứng).

Bài 4.24 trang 84 toán 7 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải tham khảo:

Xét ΔAMC và ΔAMB có:

• AM chung
• AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)
• MB=MC (gt)

⇒ ΔAMB=ΔAMC(c.c.c)

⇒ $\widehat{CAM}$ = $\widehat{CBM}$ (2 góc tương ứng)

⇒ AM là phân giác của $\widehat{BAC}$ 

Ta có $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$ (2 góc tương ứng) mà $\widehat{AMB}$ + $\widehat{AMC}$ = $180^{\circ}$ ( 2 góc kề bù)

⇒ $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$ = $90^{\circ}$ 

⇒ AM ⊥ BC.

Bài 4.25 trang 84 toán 7 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a. Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b. Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Lời giải tham khảo:

a. 

Xét ΔAMC và ΔAMB cùng vuông tại M có:

• AM chung
• BM=CM (gt)

⇒ ΔAMB=ΔAMC (c.g.c)

⇒ AM=BM (2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔABM cân tại A

b.

Kẻ MH ⊥ AB (H ∈AB), MG ⊥ AC (G ∈ AC)

Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAGC vuông tại G có: 

• $\widehat{HAM}$ = $\widehat{GAM}$
• AM chung

⇒ ΔAHM = ΔAGC (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ HM = GM (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔBHM vuông tại H và ΔCGM vuông tại G có:

• BM = CM (gt)
• MH = MG (cmt)

⇒ ΔBHM = ΔCGM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{BMH}$ = $\widehat{CMH}$ (2 góc tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A.

Bài 4.26 trang 84 toán 7 tập 1 Kết nối tri thức: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân. Hãy giải thích các khẳng định sau:

a. Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b. Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c. Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Lời giải tham khảo:

a. Dựa vào định lý tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180° 

⇒ Trong 1 tam giác không thể có 2 góc vuông

⇒ Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

⇒ Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b. Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau 

⇒ Tổng hai góc nhọn sẽ bằng : 180°- 90° = 90°

⇒ Mỗi góc nhọn sẽ là 45°

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c. Áp dụng định lý tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180° , ta có số đo góc còn lại là : 180°- 90° - 45° = 45°

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Bài 4.27 trang 84 toán 7 tập 1 Kết nối tri thức: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB ?

Lời giải tham khảo:

Vì đường thẳng m ⊥ AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB nên m là đường trung trực của AB.

Bài 4.28 trang 84 toán 7 tập 1 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải tham khảo:

Xét ΔADC và ΔADB cùng vuông tại D có:

• AD chung
• AC = AB

⇒ ΔADC = ΔADB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ CD = BD (2 cạnh tương ứng)

⇒ D là trung điểm của BC mà AD ⊥ BC

⇒ AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.