1. Đa thức một biến

Hoạt động khám phá 1: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào không chứa phép tính cộng, phép tính trừ?

3x²;                       6 - 2y;               3t;                 

3² - 4t + 5;             -7;   

3u⁴ + 4u²;        -2z⁴;           1;                   2021y²

Lời giải tham khảo:

Các biểu thức không chứa phép tính cộng, phép tính trừ gồm có: 3x²; 3t; -7; -2z⁴; 1; 2021y²

Thực hành 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến:

M = 3;           N = 7x;              P = 10 - y² + 5y;            

Q = $\frac{4t - 7}{3}$;      R = $\frac{2x - 5}{1 + x^{2}}&

Lời giải tham khảo:

Đa thức một biến gồm có: 

• M = 3
• N = 7x
• P = 10 - y² + 5y
• Q = $\frac{4t - 7}{3}$.

2. Cách biểu diễn đa thức một biến

Thực hành 2: Cho đa thức: P(x) = 7 + 4x² + 3x³ - 6x + 4x³ - 5x²

a. Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm của biến

b. Xác định bậc của P(x) và tìm các hệ số

Lời giải tham khảo:

a. Ta có: P(x) = 7x³ - x² - 6x +7

b. P(x) có bậc 3 trong đó hệ số của x³ là 7, hệ số của x² là -1, hệ số của x là -6, hệ số tự do là 7.

3. Giá trị của đa thức một biến

Hoạt động khám phá 2: Diện tích của một hình chữ nhật được biểu thị bởi đa thức P(x) = 2x² + 4x. Hãy tính diện tích của hình chữ nhật ấy khi biết x = 3cm

Lời giải tham khảo:

Khi x = 3cm thì diện tích hình chữ nhật đó là:

P(x) = 2.3² + 4.3 = 30cm²

Thực hành 3: Tính giá trị của đa thức M(t) = -5t³ + 6t² + 2t +1 khi t = -2

Lời giải tham khảo:

Khi t = -2 thì giá trị của đa thức là:

M(-2) =  -5.(-2)³ + 6.(-2)² + 2.(-2) +1 = 61

Vận dụng 1: Quãng đường một chiếc ô tô đi từ A đến B được tính theo biểu thức s = 16t, trong đó s là quãng đường tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính quãng đường ô tô đi được sau 10 giây.

Lời giải tham khảo:

Quãng đường ô tô đi được sau 10 giây là: 

16.10 = 160 m.

4. Nghiệm của đa thức một biến

Hoạt động khám phá 3: Cho đa thức P(x) = x² - 3x + 2. Hãy tính giá trị của P(x) khi x = 1, x = 2 và x = 3

Lời giải tham khảo: 

Khi x = 1 thì giá trị của đa thức là: P(1) = 1² - 3.1 + 2 = 0.

Khi x = 2 thì giá trị của đa thức là: P(2) = 2² - 3.2 + 2 = 0.

Khi x = 3 thì giá trị của đa thức là:P(3) = 3² - 3.3 + 2 = 2.

Thực hành 4: Cho P(x) = x³ + x² - 9x -9. Hỏi mỗi số x = -1, x = 1 có phải là một nghiệm của P(x) hay không?

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• P(1) = 1³ + 1² - 9.1 -9 = -16.
• P(-1) = (-1)³ + (-1)² - 9.(-1) -9 = 0.

Vậy x = -1 là nghiệm của P(x).

Vận dụng 2: Diện tích một hình chữ nhật cho bởi biểu thức S(x) = 2x² + x. Tính giá trị của S khi x = 4 và nêu một nghiệm của đa thức Q(x) =  2x² + x - 36.

Lời giải tham khảo:

Khi x = 4, ta có S(4) = 2.4² + 4 = 36.

Ta có: Q(4) =  2.4² + 4 - 36 = 0.

⇒ x = 4 là một nghiệm của đa thức Q(x).

5. BÀI TẬP

Bài 1 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đơn thức một biến:

a. 5x³

b. 3y + 5

c. 7,8

d. 23 . y . y²

Lời giải tham khảo:

Đơn thức một biến là:

• a. 5x³
• b. 3y + 5
• d. 23 . y . y²

Bài 2 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến.

A = -32;          B = 4x + 7;          M = 15- 2t³ + 8t;            

N = $\frac{4-3y}{5}$;                 Q = $\frac{5x-1}{3x^{2}+2}$.

Lời giải tham khảo:

Biểu thức là đa thức một biến là:

• A = -32
• B = 4x + 7
• M = 15- 2t³ + 8t           
• N = $\frac{4-3y}{5}$

Bài 3 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Hãy cho biết bậc của các đa thức sau:

a. 3 + 2y

b. 0

c. 7 + 8

d. 3,2x³ + x⁴

Lời giải tham khảo:

a. 3 + 2y là đa thức bậc 1.

b. 0 là đa thức không có bậc.

c. 7 + 8 là đa thức bậc 0.

d. 3,2x³ + x⁴ là đa thức bậc 4.

Bài 4 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Hãy cho biết phần hệ số và phần biến của mỗi đa thức sau: 

a. 4 + 2t - 3t³ + 2,3t⁴

b. 3y⁷ + 4y³ - 8

Lời giải tham khảo:

a) Phần biến gồm có: t, t³, t⁴. 

Phần hệ số gồm có: 4; 2;  -3; 2,3. 

b) Phần biến gồm có: y³; y⁷. 

Phần hệ số gồm có: 3; 4; -8.

Bài 5 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho đa thức P(x) = 7 + 10x² + 3x³ - 5x + 8x³ - 3x². Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

Lời giải tham khảo:

P(x) = 3x³ + 8x³ + 10x² − 3x² − 5x + 7 

= 11x³ + 7x² − 5x + 7.

Bài 6 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho đa thức P(x) = 2x + 4x³ + 7x² - 10x + 5x³ - 8x². Hãy viết đa thức thu gọn, tìm bậc và các hệ số của đa thức P(x)

Lời giải tham khảo:

P(x) =  = 2x + 4x³ + 7x² - 10x + 5x³ - 8x²

Đa thức P(x) có bậc 3, hệ số của x³ là 8, hệ số của x² là -1, hệ số của x là -8.

Bài 7 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Tính giá trị của các đa thức sau:

a. P(x) = 2x³ + 5x² - 4x + 3 khi y = -2

b. Q(y) = 2y³ - y⁴ + 5y² - y khi y = 3

Lời giải tham khảo:

a. Khi y = -2 thì giá trị của đa thức là:

P(x) = 2x³ + 5x² - 4x + 3 

= 2.(-2)³ + 5.(-2)² - 4.(-2) + 3 = 15

b. Khi y = 3 thì giá trị của đa thức là:

Q(y) = 2y³ - y⁴ + 5y² - y 

= 2.3³ - 3⁴ + 5.3² - 3 = 15

Bài 8 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho đa thức M(t) = t + $\frac{1}{2}$.t³

a. Hãy nêu bậc và các hệ số của M(t)

b. Tính giá trị của M(t) khi t = 4

Lời giải tham khảo:

a) Đa thức M(t) đã cho bậc 3.

Hệ số của t³ là $\frac{1}{2}$, hệ số của t là 1.

b) Với t = 4, ta có: M(4) = 4+$\frac{1}{2}.4^{3}$ = 36.

Bài 9 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Hỏi x = $-\frac{2}{3}$ có phải là một nghiệm của đa thức P(x) = 3x+2 không?

Lời giải tham khảo:

Với x = $-\frac{2}{3}$, ta có: 

P($-\frac{2}{3}$) = 3. $-\frac{2}{3}$ +2 = 0.

⇒  x = $-\frac{2}{3}$ là một nghiệm của đa thức P(x).

Bài 10 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho đa thức Q(y) = 2y² - 5y + 3. Các số nào trong tập hợp {1; 2; 3; \frac{3}{2}} là nghiệm của Q(y)?

Lời giải tham khảo:

Với x = 1, ta có: Q(1) = 2.1² − 5.1 + 3 = 0. 

Với x = 2, ta có: Q(2) = 2.0² − 5.0 + 3 = 3.

Với x = 3, ta có: Q(3) = 2.3² - 5.3 + 3 = 6.

Với x = $\frac{3}{2}$, ta có: 

Q($\frac{3}{2}$) = 2.$\left (\frac{3}{2} \right )^{2} -5\frac{3}{2}+3=0$.

Vậy x = 1 và x = $\frac{3}{2}$ là nghiệm của đa thức Q

Bài 11 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Đa thức M(t) = 3+t⁴ có nghiệm không? Vì sao?

Lời giải tham khảo:

Ta có: t² ≥ 0 ⇒t² + 4 ≥ 4

⇒ Đa thức M(t) luôn dương với mọi t. 

⇒ Đa thức M(t) không có nghiệm.

Bài 12 trang 31 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Một chiếc ca nô đang chạy với tốc độ v = 16 + 2t (v tính theo đơn vị mét?giây, t là thời gian tính theo đơn vị giây). Tính tốc độ của ca nô với t = 5.

Lời giải tham khảo:

Với t = 5, tốc độ của ca nô là: 

v = 16 + 2.5 = 26 (mét/giây).