KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Trong giờ học môn Mĩ thuật bạn Hạnh dán lên trang của hai hình vuông có kích thước lần lượt là 3 cm và x như ở hình 1 tổng diện tích hai hình vuông đó là x²  + 9 (cm²). Biểu thức đại số x²  + 9 có gì đặc biệt?

Lời giải tham khảo:

Biểu thức đại số x² + 9 đã cho là đa thức một biến.

I. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN. ĐA THỨC MỘT BIẾN

Hoạt động 1: 

a. Viết biểu thức biểu thị: 

- Diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x cm

- Thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh là 2x cm

b. Các biểu thức trên có dạng như thế nào?

Lời giải tham khảo:

a. Biểu thức biểu thị diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x² 

Biểu thức biểu thị thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh là a. (2x)³ 

b. Các biểu thức đã viết có dạng đơn thức một biến.

Hoạt động 2: 

a. Viết biểu thức biểu thị:

- Quãng đường ô tô đi được trong thời gian x (h), nếu vận tốc của ô tô là 60km/h

- Tổng diện tích của các hình: hình vuông có độ dài cạnh là 2x cm; hình chữ nhật có các kích thước là 3cm và x cm; hình thoi có độ dài đường chéo là 4 cm và 8 cm

b. Các biểu thức trên có bao nhiêu biến? Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức có dạng như thế nào?

Lời giải tham khảo:

a. Biểu thức biểu thị quãng đường ô tô đi được: S = 60 . x

Biểu thức biểu thị tổng diện tích của các hình: hình vuông có độ dài cạnh là 2x cm; hình chữ nhật có các kích thước là 3cm và x cm; hình thoi có độ dài đường chéo là 4 cm và 8 cm: 2x²  + 3x + $\frac{4 . 8}{2}$

b. Biểu thức đã viết có dạng đa thức một biến.

Luyện tập 1: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? 

a. x² +9

b. $\frac{2}{x^{2}}$ + 2x + 1

c. 3x + $\frac{2}{5}y$

Lời giải tham khảo:

Biểu thức (a) x² +9 và (b) $\frac{2}{x^{2}} + 2x + 1 là đa thức một biến.

Hoạt động 3: Cho hai đơn thức của cùng biến x là 2x²  và 3x² 

a. So sánh số mũ của biến x trong hai đơn thức trên.

b. Thực hiện phép cộng 2x² + 3x²  và (2 + 3)x² 

c. So sánh kết quả 2 phép tính

Lời giải tham khảo:

a. Số mũ của biến x trong hai đơn thức đã cho bằng nhau

b. Ta có: 

• 2x²  + 3x²  = 5x² 
• (2 + 3)x² = 5x²

c. 2x²  + 3x²  = (2 + 3)x² 

Luyện tập 2:Thực hiện mỗi phép tính sau:

a. x²  + $\frac{1}{4}$.x²  - 5x² 

b. y⁴  + 6y⁴  - $\frac{2}{5}$.y⁴ 

Lời giải tham khảo:

a. x²  + $\frac{1}{4}$.x²  - 5x²  

= (1 + $\frac{1}{4}$ - 5). x²  

= ($\frac{4+1-20}{4}$).x²  

= $\frac{-15}{4}$.x² 

b. y⁴  + 6y⁴  - $\frac{2}{5}$.y⁴  

= (1+ 6 + $\frac{2}{5}$).y⁴  

= ($\frac{5+30-2}{5}$).y⁴  

= $\frac{33}{5}$.y⁴ 

III. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

Hoạt động 4: Cho đa thức P(x) = 2x²  + 2x²  + 6x + 2x -3

a. Nêu các đơn thức của biến x có trong đa thức P(x)

b. Tìm số mũ của biến x trong từng đơn thức nói trên

c. Thực hiện phép cộng các đơn thức có cùng số mũ của biến x sao cho trong đa thức P(x) không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến x.

Lời giải tham khảo:

a. Các đơn thức của biến x trong đa thức P(x) là: 2x² ; 2x² ; 6x; 2x

b. Số mũ của biến x trong từng đơn thức trong đa thức P(x):

• 2x² : mũ 2
• 2x² : mũ 2
• 6x: mũ 1
• 2x: mũ 1

c. P(x) = 2x²  + 2x²  + 6x + 2x -3 

= 4x²  + 8x -3

Luyện tập 3: Thu gọn đa thức: 

P(y) = -2y³  + y + $\frac{11}{7}$.y³  + 3y²  - 5 - 6y²  + 9 

Lời giải tham khảo:

P(y)= (-2y³  + $\frac{11}{7}$.y³ ) + (3y²  - 6y²) + y - 5 + 9

= $\frac{-28+22}{14}$.y³  - 3y²  + y + 4

= $\frac{-6}{14}$.y³  - 3y²  + y + 4

= $\frac{-3}{7}$.y³ - 3y²  + y + 4

Hoạt động 5: Cho đa thức R(x) = -2x²  + 3x²  + 6x + 8x⁴  -1

a. Thu gọn đa thức R(x)

b. Trong dạng thu gọn của đa thức R(x), sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến.

Lời giải tham khảo: 

a) R(x)= -2x²  + 3x²  + 6x + 8x⁴  -1

= (-2+3)x²  + 6x + 8x⁴  -1

= x²  + 6x + 8x⁴  -1

b) R(x)= 8x⁴  + x²  + 6x - 1

Luyện tập 4: Sắp xếp đa thức H(x) = $-0,5x^{8}$ + 4x³  + $5x^{10}$ -1 theo:

a) Số mũ giảm dần của biến

b) Số mũ tăng dần của biến

Lời giải tham khảo:

a) H(x) = $5x^{10} - 0,5x^{8}$ + 4x³  - 1

b) H(x) = -1 + 4x³  - $0,5x^{8} +5x^{10}$

IV. BẬC CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Hoạt động 6: Cho đa thức P(x) = 9x⁴  + 8x³  - 6x²  + x - 1 - 9x⁴ 

a) Thu gọn đa thức P(x)

b) Tìm số mũ cao nhất của x trong dạng thu gọn của P(x)

Lời giải tham khảo:

a) P(x) = 9x⁴  + 8x³  - 6x²  + x - 1 - 9x⁴ 

= 8x³  - 6x²  + x - 1

b) Số mũ cao nhất của x trong dạng thu gọn của P(x) là 3

Luyện tập 5: Cho đa thức: R(x) = -1975x³  + 1945x⁴  + $2021x^{5}$ - 4,5

a) Sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến

b) Tìm bậc của đa thức R(x)

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x)

Lời giải tham khảo:

a) R(x) = $2021x^{5}$ + 1946x⁴  - 1975x³  - 4,5

b) Đa thức R(x) có bậc 5

c) Hệ số cao nhất của đa thức R(x): 2021

Hệ số tự do của đa thức R(x): -4,5

V. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Hoạt động 7: 

a) Tính giá trị của biểu thức đại số 3x - 2 tại x = 2

b) Tính giá trị của đa thức P(x) = -4x + 6 tại x = -3

Lời giải tham khảo:

a) Tại x=2, ta có: 

3.2 - 2 = 4

b) Tại x - -3, ta có 

P(x) = (-4). (-3) + 6 

= 18

Hoạt động 8: Cho đa thức P(x) = x²  - 3x + 2. Tính P(1), P(2)

Lời giải tham khảo:

Khi P(1), ta có: 

P(1) = 1²  - 3.1 + 2 

= 1 - 3 + 2 = 0

Khi P(2), ta có: 

P(2) = 2²  - 3.2 + 2 

= 4 - 6 + 2 = 0

Luyện tập 6: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x = 4 và x = -4 là nghiệm của đa thức P(x) = x²  - 16

b) y = -2 là nghiệm của đa thức Q(y) = -2y³  + 4

Lời giải tham khảo:

a) P(x) = x²  - 16

Khi x = 4 => P(4) = 4²  - 16 = 16 - 16 = 0

Khi x = -4 => P(-4) = (-4)²  - 16 = 16 - 16 = 0

=> Phát biểu a đúng.

b) Q(y) = -2y³  + 4

Khi y = -2 => Q(-2) = -2.(-2)³  + 4 = -2.(-8) + 4 = 16 + 4 = 20

=> Phát biểu b sai.

VI. BÀI TẬP

Bài 1 trang 52 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến. Tìm biến và bậc của đa thức đó. 

a. -2x

b. -x² -x+$\frac{1}{2}$

c. $\frac{4}{x^{2} +1}$+x² 

d. y² -$\frac{3}{y}$+1

e. -6z+8

g. $-2t^{2021}+3t^{2020}+t-1$

Lời giải tham khảo:

Các đa thức 1 biến gồm có:

• a. Đa thức biến x bậc 1
• b. Đa thức biến x bậc 2
• e. Đa thức biến z bậc 1
• g. Đa thức biến t bậc 2021

Bài 2 trang 52 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Thực hiện mỗi phép tính sau: 

a. $\frac{4}{9}x+\frac{2}{3}x$

b. -12y² +0,7y² 

c. -21t³ -25t³ 

Lời giải tham khảo:

a) $\frac{4}{9}x+\frac{2}{3}x$

= $\(frac{4}{9}x+\frac{2}{3}).x$

= $\frac{10}{9}x$

b) - 12y² + 0,7y² 

= (-12 + 0,7). y² 

= -11,3y².

c) - 21t³ - 25t³ 

= (-21 - 25).t³ 

= -46t³ 

Bài 3 trang 52 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho hai đa thức:

P(y)=-12y⁴ +5y⁴ +13y³ -6y³ +y-1+9

Q(y)=-20y⁴ +31y⁴ +6y-8y+y-7+11

a. Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp mỗi đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

b. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.

Lời giải tham khảo:

a) P(y)= -12y⁴ +5y⁴ +13y³ -6y³ +y-1+9

= 7y⁴ +7y³ + y + 8

Q(y)=-20y⁴ +31y⁴ +6y-8y+y-7+11

= 11y⁴ −2y + y + 4

b) Đa thức P(y) bậc 4, hệ số cao nhất là 7, hệ số tự do là 8

Đa thức Q(y) bậc 4, hệ số cao nhất là 11, hệ số tự do là 4

Bài 4 trang 53 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho đa thức: ax² +bx+c (a ≠ 0). Chứng tỏ rằng:

a. P(0) = c

b. P(1) = a+b+c

c. P(-1) = a-b+c

Lời giải tham khảo:

a. P(0) = a.0² + b.0 +c = c

b. P(1) = a.1² + b.1 +c = a+b+c

c. P(-1) = a.(-1)² + b.(-1) + c = a-b+c

Bài 5 trang 53 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Kiểm tra xem:

a. x = 2, $\frac{4}{3}$ có là nghiệm của đa thức P(x) = 3x - 4 hay không

b. y=1; y=4 có là nghiệm của đa thức Q(y) = y²  - 5y + 4 hay không

Lời giải tham khảo:

a) $\frac{4}{3}$ là nghiệm của đa thức P(x)=3x-4 

b) y = 1 là nghiệm của đa thức Q(y) = y²  - 5y + 4 

Bài 6 trang 53 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Theo tiêu chuẩn của Tổ chức Y tế Thế giới (WHO), đối với bé gái, công thức tính cân nặng chuẩn là C = 9+2(N-1) (kg), công thức tính chiều cao chuẩn là H = 75+5(N-1) (cm), trong đó N là số tuổi của bé gái

a. Tính cân nặng chuẩn, chiều cao chuẩn của một bé gái 3 tuổi.

b. Một bé gái 3 tuổi nặng 13,5kg và cao 86cm. Bé gái đó có đạt tiêu chuẩn về cân nặng và chiều cao của Tổ chức Y tế thế giới hay không?

Lời giải tham khảo:

a. Cân nặng chuẩn của một bé gái 3 tuổi: 

C = 9 + 2(N - 1) = 9 + 2 (3 - 1) = 13kg

Chiều cao chuẩn của một bé gái 3 tuổi: 

H = 75 + 5 (N - 1) = 75 + 5 (3 - 1) = 85cm

b. Bé gái đã cho có đạt tiêu chuẩn về cân nặng và chiều cao của Tổ chức Y tế thế giới

Bài 7 trang 53 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Nhà bác học Galilei (1564-1642) là người đầu tiên phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian chuyển động quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (m) và thời gian chuyển động x (m) được bình diễn gần đúng bởi công thức y = 5x²  trong một thí nghiệm vật lý người ta thả một vật nặng từ độ cao 180 m xuống đất (coi sức cản của không khí không đáng kể).

a. Sau 3 giây thì vật nặng khoảng cách mặt đất bao nhiêu m?

b. Khi vật nặng khoảng cách mặt đất 100 m thì nó đang theo được thời gian bao lâu?

c. Sau bao lâu thì vật chạm đất?

Lời giải tham khảo:

a. Thay x = 3 vào công thức y = 5x² ta được: y = 5.3² = 45

Sau 3 giây thì vật nặng khoảng cách mặt đất 180 - 45 = 135 m.

b. Quãng đường chuyển động của vật nặng còn cách đất 100m là: 

180 – 100 = 80m

Thay y = 80 vào công thức y = 5x², ta được: x = 4

Khi vật nặng khoảng cách mặt đất 100 m thì nó đang theo được thời gian 4 giây.

c. Thay y = 180 vào công thức y = 5x² , ta được: x = 6

 Sau 6 giây thì vật chạm đất.

Bài 8 trang 53 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Truyền thống của anh Mỹ và một số quốc gia khác công thức tính khối lượng 2 kg theo x (pound) là y = 0,45359237x

a. Tính giá trị của y (kg) khi x = 100 pound 

b. Một hãng hàng không quốc tế quy định mỗi hành khách được mang 2 vali không tính cước mỗi vali cân nặng không vượt quá 23kg với vali cân nặng 50,99 pound sau khi quy đổi sang kg và được phép làm tròn đến hàng đơn vị thì có vượt quá quy định trên hay không?

Lời giải tham khảo:

a. Giá trị của y (kg) khi x = 100 pound là:

y = 0,45359237x = 0,45359237. 100 =  45,359237

b. Vali cân nặng 50,99 pound sau khi quy đổi sang kg được phép làm tròn đến hàng đơn vị bằng:

y = 0,45359237. 50,99 = 23,13 ≈ 23kg

=> Va li có cân nặng 50,99 pound không vượt quá quy định.