1. Hai tam giác bằng nhau

Hoạt động khám phá 1: Dùng kéo cắt một tờ giấy thành hình tam giác ABC. Đặt tam giác ABC lên tờ giấy thứ hai. Vẽ và cắt theo các cạnh của tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Hãy so sánh các cạnh và các góc của hai tam giác ABC và A'B'C'.

Lời giải tham khảo:

AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'

$\widehat{A} = \widehat{A'}$

$\widehat{B} = \widehat{B'}$

$\widehat{C} = \widehat{C'}$.

Thực hành 1: Quan sát hình 4. Hai tam giác ABC và MNP có bằng nhau không? Hãy chỉ ra các cặp góc và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

Lời giải tham khảo:

$ \triangle  ABC= \triangle MNP$ vì có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

• AB = MN; AC = MP; BC = NP.
• $\widehat{A} = \widehat{M}$
• $\widehat{B} = \widehat{N}$
• $\widehat{C} = \widehat{P}$ (Vì $\widehat{C}=180^{o}-\widehat{A}-\widehat{B}$; $\widehat{P}=180^{o}-\widehat{M}-\widehat{N}$).

Vận dụng 1: Trong Hình 5, cho biết $ \triangle  GHI= \triangle MNP$. Hãy tính số đo góc M và độ dài cạnh GI.

Lời giải tham khảo:

Xét tam giác GHI có: $\widehat{G}=180^{o}-62^{o}-43^{o}=75^{o}$.

Vì $ \triangle  GHI= \triangle MNP$

⇒ $\widehat{G}= \widehat{M}=45^{o}$.

GI = MP = 5 cm.

2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

Hoạt động khám phá 2: Cho tam giác ABC như trong Hình 6a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác ABC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C' = CB

- Vẽ cung tròn tâm B' có bán kính bằng BA, vẽ cung tròn tâm C' có bán kính bằng CA

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại A'

- Vẽ các đoạn thẳng B'A', C'A', ta được tam giác A'B'C'(Hình 6b).

Em hãy cắt rời tam giác A"B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không. Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Lời giải tham khảo:

Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Hoạt động khám phá 3: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có $\widehat{B} = \widehat{B'}$, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ $\widehat{xB'y} = \widehat{ABC}$

- Trên tia B'x lấy đoạn B'A' = BA

- Trên tia B'y lấy đoạn B'C' = BC

- Vẽ đoạn A'C', ta được tam giác A'B'C' (Hình 8b)

Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không? Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không? 

Lời giải tham khảo:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Hoạt động khám phá 4: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có $\widehat{B} = \widehat{B'}$, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C"' = BC

- Ở về cùng một phía của tờ giấy đối với đường thẳng B'C' vẽ $\widehat{C'B'x} = \widehat{CBA}$ và vẽ $\widehat{B'C'y} = \widehat{BCA}$

- Vẽ giao điểm A' của hai tia B'x và C'y ta được tam giác A'B'C' Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không.

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Lời giải tham khảo:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Thực hành 2: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.

Lời giải tham khảo:

a) Xét $\triangle NMQ$ và $\triangle PQM$ có:

• MN = PQ
• NQ = PM
• MQ chung

⇒ $\triangle NMQ$ = $\triangle PQM$ (c.c.c).

b) Xét $\triangle GHK $ và $\triangle KIG$ có:

• GH = KI
• $\widehat{HGK} = \widehat{IKG}$
• GK chung

⇒  $\triangle GHK $ = $\triangle KIG$ (c.g.c).

c)  Ta có: 

• $\widehat{ABD}=180^{o}-\widehat{ABE}$ (hai góc kề bù)
• $\widehat{ACE}=180^{o}-\widehat{ACD}$ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}$

⇒ $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

+) Xét $\triangle ABD $ và $\triangle ACE$ có:

• $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$
• DB = CE
• $\widehat{D}=\widehat{E}$

⇒  $\triangle ABD $ = $\triangle ACE$ (g.c.g).

Thực hành 3: Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a, b) có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải tham khảo:

a. Xét $\Delta ACB$ và $\Delta ECD$ có

• AC = EC
• $\widehat{ACB} = \widehat{ECD}$
• BC = CD

⇒ $\Delta ACB = \Delta ECD$ (c.g.c)

b. Hai tam giác trong mỗi hình 14b không bằng nhau vì các cạnh tương ứng của tam giác không bằng nhau.

Vận dụng 2: Nêu thêm điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 15a, b) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

Lời giải tham khảo:

a) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố:

• Trường hợp 1: $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$
• Trường hợp 2: AD = CD.

b) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố: KN = MN.

Vận dụng 3: Cho $\widehat{xOy}$. Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Vẽ hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm P nằm trong $\widehat{xOy}$. Nối O với P (Hình 16). Hãy chứng minh rằng $\Delta OMP = \Delta ONP$, từ đó suy ra OP là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Lời giải tham khảo:

Cung tròn tâm O, cắt Ox, Oy theo thứ tự M, N nên OM = ON.

Hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính cắt nhau tại điểm P nên MP = NP.

Xét $\Delta OMP$ và $\Delta ONP$ có:

• OM = ON
• MP = NP
• OP chung

⇒ $\Delta OMP $ = $\Delta ONP$ (c.c.c).

⇒ $\widehat{MOP} = \widehat{NOP}$

⇒ OP là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

Hoạt động khám phá 5: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau cho mỗi cặp tam giác trong Hình 17.

Lời giải tham khảo:

a) Xét $\Delta ABC $ và $\Delta DEF$ có:

• AB = DE
•  $\widehat{A} = \widehat{D}=90^{o}$
• AC = DF.

⇒ $\Delta ABC $ = $\Delta DEF$ (c.g.c).

b) Xét $\Delta ABC $ và $\Delta PQR$ có:

• $\widehat{B} = \widehat{Q}$
• BC = QR
• $\widehat{C} = \widehat{R}$ (vì $\widehat{C} = 90^{o} - \widehat{B}$; $\widehat{R} = 90^{o} - \widehat{Q}$, mà $\widehat{B}$ = $\widehat{Q}$).

⇒ $\Delta ABC $ = $\Delta PQR$ (g.c.g).

c) Xét $\Delta ABC $ và $\Delta HGK$ có:

• $\widehat{C} = \widehat{G}$
• AC = HG
• $\widehat{A} = \widehat{H}=90^{o}$

⇒ $\Delta ABC $ = $\Delta HGK$ (g.c.g).

Thực hành 4: Tìm các tam giác vuông bằng nhau trong mỗi hình bên (Hình 19)

Lời giải tham khảo:

a) Xét $\Delta NMP$ vuông tại N và $\Delta PQN$ vuông tại P có:

• NP chung
• NM = PQ

⇒ $\Delta NMP$ = $\Delta PQN$ theo trường hợp hai cạnh góc vuông.

b) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta KBH$ cùng vuông tại H có:

• BH chung
• $\widehat{ABH} = \widehat{KBH}$

⇒ $\Delta ABH$ = $\Delta KBH$ theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy.

Hoạt động khám phá 6: Cho tam giác ABC vuông tại A trong Hình 20a. Vẽ lên tờ giấy tam giác vuông A'B'C' có cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác ABC như sau:

- Vẽ góc vuông xA'y, trên cạnh A'y vẽ đoạn A'C' = AC

- Vẽ cung tròn tâm C' bán kính bằng BC cắt A'x tại B' Cắt rời tam giác A'B'C'.

Em hãy cho biết có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia hay không? 

Lời giải tham khảo:

Có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia.

Thực hành 5: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 22 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào?

Lời giải tham khảo:

+) Xét $\Delta ABD$ vuông tại B và  $\Delta ACD$ vuông tại C có:

• Cạnh huyền AD chung 
• $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.

⇒ $\Delta ABD = \Delta ACD$ (cạnh huyền và một góc nhọn).

+) Xét $\Delta ACE$ vuông tại C và $ \Delta ABH$ vuông tại B có: 

• AB = AC (vì $\Delta ABD = \Delta ACD$)
• $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.

⇒ $\Delta ACE = \Delta ABH$ (một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy).

+) Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ADH$ có:

• AE = AH (vì $\Delta ACE = \Delta ABH$)
• $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$
• AD chung

⇒  $\Delta ADE$ = $\Delta ADH$ (c.g.c).

+) Xét $\Delta BDE$ vuông tại B và $\Delta CDH$ vuông tại C có:

• BD = DC
• DE = DH

⇒ $\Delta BDE$ = $\Delta CDH$ (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

4. BÀI TẬP

Bài 1 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.

a. $\Delta ABE = \Delta ?$

b. $\Delta EAB = \Delta ?$

c. $\Delta ? = \Delta CDE $

Lời giải tham khảo:

a. ΔABE = ΔDCE 

b. ΔEAB = ΔEDC 

c. ΔBAE = ΔCDE

Bài 2 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho $\Delta DEF = \Delta HIK$ và $\widehat{D} = 73^{0}$, DE = 5cm, IK = 7cm. Tính số đo $\widehat{H}$ và độ dài HI, EF.

Lời giải tham khảo:

Theo đề bài có ΔDEF=ΔHIK, nên ta có:

• HI = DE = 5cm.
• EF = IK = 7cm.
• $\widehat{H}$ = $\widehat{D} = 73^{0}$

Bài 3 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho hai tam giác bằng nhau ABC và DEF (các đỉnh viết chưa tương ứng), trong đó $\widehat{A} = \widehat{E}$, $\widehat{C} = \widehat{D}$. Tìm các cặp cạnh bằng nhau, cặp góc tương ứng bằng nhau còn lại.

Lời giải tham khảo:

Xếp theo thứ tự tương ứng các đỉnh có: $\Delta ABC = \Delta EFD$.

Các cặp góc tương ứng bằng nhau:

• $\widehat{ABC} = \widehat{EFD}$, 
• $\widehat{ACB} = \widehat{EDF}$, 
• $\widehat{BCA} = \widehat{FDE}$.

Các cặp cạnh bằng nhau là: 

• AB = EF, 
• BC = FD, 
• AC = ED.

Bài 4 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho biết $\Delta MNP = \Delta DEF$ và MN = 4cm, MP = 5cm, EF = 6cm. Tính chu vi tam giác MNP

Lời giải tham khảo:

Vì ΔMNP=ΔDEF 

⇒ NP = EF = 6cm. 

Chu vi tam giác MNP là: 

MN + MP + NP = 4 + 5 + 6 = 15 (cm)

Bài 5 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Vẽ hai đường thẳng m và n lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Lấy điểm C trên m, CO cắt n tại D (hình 24). Chứng minh rằng O là trung điểm của CD.

Lời giải tham khảo:

Xét $\Delta AOC$ vuông tại A và  $\Delta BOD$ vuông tại B có:

• $\widehat{COA} = \widehat{DOB}$ (2 góc đối đỉnh).
• AO = OB

⇒ $\Delta AOC = \Delta BOD$ (cạnh góc vuông và góc nhọn).

⇒  OC = OD mà 3 điểm O, C, D thẳng hàng

⇒ O là trung điểm của CD.

Bài 6 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho hình 25 có EF = HG, EG = HF.

Chứng minh rằng: 

a. $\Delta EFH = \Delta HGE$

b. EF // HG

Lời giải tham khảo:

a. Xét ΔEFH và ΔHGE có: 

• EH chung 
• GH = EF GE = HF 

⇒ ΔEFH=ΔHGE (c.c.c) 

b. Ta cos: ΔEFH=ΔHGE  

⇒ $\widehat{FEH}=\widehat{EHG}$ mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

⇒ EF // HG.

Bài 7 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác FGH có FG = FH. Lấy điểm I trên cạnh GH sao cho FI là tia phân giác của $\widehat{GFH}$. Chứng minh rằng hai tam giác FIG và FIH bằng nhau

Lời giải tham khảo:

Xét $\Delta FGI$ và $\Delta FHI$ có:

• FI chung
• $\widehat{GFI}= \widehat{HFI}$
• FG = FH

⇒ $\Delta FGI = \Delta FHI$ (c.g.c).

Bài 8 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh rằng:

a) AD = BC.

b) $\Delta EAB = \Delta ECD$.

c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Lời giải tham khảo:

a) Xét $\Delta AOD$ và $\Delta COB$ có:

• AO = CO
• $\widehat{O}$ chung
• OD = OB

⇒ $\Delta AOD$ = $\Delta COB$ (c.g.c).

⇒ AD = BC.

b. $\Delta ODA = \Delta OBC$ 

⇒ $\widehat{EBA} = \widehat{EDC}$ mà $\widehat{AEB} = \widehat{CED}$

⇒ $\widehat{EAB} = \widehat{ECD}$

Ta lại có: OA = OC và OB = OD

⇒ OB - OA = OD - OC

⇒ AB = CD

Xét $\Delta EAB$ và $\Delta ECD$ ta có:

• $\widehat{EAB} = \widehat{ECD}$ (chứng minh trên)
• AB = CD (chứng minh trên)
• $\widehat{EBA} = \widehat{EDC}$ (chứng minh trên).

⇒ $\Delta EAB = \Delta ECD$ (g.c.g)

c. Xét $\Delta OBE$ và $\Delta ODE$ có:

• OE chung
• OB = OD
• EB = ED (vì $\Delta EAB = \Delta ECD$)

⇒ $\Delta OBE$ = $\Delta ODE$ 

⇒ $\widehat{BOE} = \widehat{DOE}$.

⇒ OE là tia phân giác góc xOy.

Bài 9 trang 57 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Đặt tên cho một số điểm có trong Hình 26 và chỉ ra ba cặp tam giác bằng nhau trong hình đó.

Lời giải tham khảo:

ΔABC = ΔEFG = ΔCDE.