1. Tứ giác

Thực hành 1 trang 65 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Vẽ tứ giác MNPQ và tìm:

- Hai đỉnh đối nhau

- Hai đường chéo

- Hai cạnh đối nhau.

Lời giải tham khảo:

Trong tứ giác MNPQ có:

•  Hai đỉnh đối nhau là: M và P; N và Q;
•  Hai đường chéo là: MP và NQ;
•  Hai cạnh đối nhau là: MN và PQ; MQ và NP.

Vận dụng 1 trang 65 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm các đỉnh, cạnh và đường chéo của tứ giác Long Xuyên CHRL (Hình 6)

Lời giải tham khảo:

Trong tứ giác Long Xuyên CHRL có:

•  Các đỉnh là: C, H, R, L;
•  Các cạnh là: CH, HR, RL, LC;
•  Các đường chéo là: CR và HL.

2. Tổng các góc của một tứ giác

Thực hành 2 trang 66 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm x trong mỗi tứ giác sau:

Lời giải tham khảo:

Hình 9a):

Xét tứ giác PQRS có: 80° + 70° + 2x + x = 360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

⇒ 3x = 360° - (80° + 70°) = 210°

⇒ x = 70°.

Hình 9b):

Xét tứ giác ABCD có: x + 95° + 100° + 90° = 360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

⇒ x = 360° - (95° + 100° + 90°) = 75°.

Hình 9c):

Xét tứ giác EFGH có: 99° + 90° + 90° + x = 360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

⇒ x = 360° - (99° + 90° + 90°) = 81°.

Vận dụng 2 trang 66 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Phần thân của cái diều ở Hình 10a được vẽ lại như Hình 10b. Tìm số đo các góc chưa biết trong hình.

Lời giải tham khảo:

Xét △ABC và ADC ta có:

• AB = AD
• BC = CD
• AC chung

⇒ △ABC=△ADC (c.c.c) 

⇒ $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

Tổng số đo bốn góc trong tam giác bằng 360° 

⇒ $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}= [360^{\circ}-(130^{\circ}+60^{\circ})]:2= 85^{\circ}$

3. Bài tập

Bài tập 1 trang 66 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác trong Hình 11

Lời giải tham khảo:

Tổng các góc trong tứ giác bằng 360° nên ta có:

a) Trong tứ giác ABCD: $\widehat{B}$ = 360° - (110° + 75° + 75°) = 100°

b) Trong tứ giác MNPQ: $\widehat{M}$ = 360° - (90° + 90° + 70°) = 110°

c) Trong tứ giác STUV: 

• $\widehat{S}$ = 180° - 60° = 120°
• $\widehat{V}$ = 360° - (120° + 65° + 115°) = 60°

d) Trong tứ giác EFGH: $\widehat{F}$ = 360° - (70° + 100° + 80°) = 110°

Bài tập 2 trang 66 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Góc kề bù với một góc của tứ giác được gọi là góc ngoài của tứ giác đó.Hãy tính tổng số đo bốn góc ngoài $\widehat{A1},\widehat{B1},\widehat{C1},\widehat{D1}$ của tứ giác ABCD ở Hình 12.

Lời giải tham khảo:

Ta có: 

• $\widehat{A_{1}}+\widehat{A}$=180º ⇒ $\widehat{A_{1}}=180º-\widehat{A}$
• $\widehat{B_{1}}+\widehat{B}$=180º ⇒ $\widehat{B_{1}}=180º-\widehat{B}$
• $\widehat{C_{1}}+\widehat{C}$=180º ⇒ $\widehat{C_{1}}=180º-\widehat{C}$
• $\widehat{D_{1}}+\widehat{D$}=180º ⇒ $\widehat{D_{1}}=180º-\widehat{D}$

 ⇒ $\widehat{A_{1}}+\widehat{B_{1}}+\widehat{C_{1}}+\widehat{D_{1}}$

= $180º-\widehat{A}+180º -\widehat{B}+180º-\widehat{C}+180º-\widehat{D}$

= 4 x 180º- $(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D})$

Mà theo định lý tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360º ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}$ =360º

 ⇒ $\widehat{A_{1}}+\widehat{B_{1}}+\widehat{C_{1}}+\widehat{D_{1}}$

= 4 x 180º - 360º = 360º

Bài tập 3 trang 67 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tứ giác ABCD có $\widehat{A}=100^{\circ}$, góc ngoài tại đỉnh B bằng $110^{\circ},\widehat{C}=75^{\circ}$. Tính số đo góc D 

Lời giải tham khảo:

Ta có: $\widehat{B}$ = 180° - 110° = 70°

Vì tổng các góc của một tứ giác bằng 360° nên ta có: 

$\widehat{D}$ = 360° - (100° + 70° + 75°) = 115°

Bài tập 4 trang 67 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tứ giác ABCD có góc ngoài tại đỉnh A bằng $65^{\circ}$, góc ngoài tại đỉnh B bằng $100^{\circ}$, góc ngoài tại đỉnh C bằng $60^{\circ}$. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D

Lời giải tham khảo:

Ta có: $\widehat{BAD} + \widehat{A}_{ngoài}$ = 180° (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{BAD}$ + 65° = 180°

⇒ $\widehat{BAD}$ = 180° - 65° = 115°

$\widehat{ABC} + \widehat{B}_{ngoài}$ = 180° (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{ABC}$ + 100° = 180°

⇒ $\widehat{ABC}$ = 180° - 100° = 80°

$\widehat{BCD} + \widehat{C}_{ngoài}$ = 180° (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{BCD}$ + 60° = 180°

⇒ $\widehat{BCD}$ = 180° - 60° = 120°

Tứ giác ABCD có $\widehat{BAD} + \widehat{ABC} + \widehat{BCD} + \widehat{ADC}$ = 360

⇒ 115° + 80° + 120° + $\widehat{ADC}$ = 360°

⇒ $\widehat{ADC}$ = 360° - (115° + 80° + 120°) = 45°

Ta có $\widehat{D}_{ngoài} + \widehat{ADC}$ = 180° (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{D}_{ngoài}$ + 45° = 180°

⇒ $\widehat{D}_{ngoài}$ = 180° - 45° = 135°

Vậy góc ngoài tại đỉnh D bằng 135°

Bài tập 5 trang 67 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tứ giác ABCD có số đo $\widehat{A}=x$, $\widehat{B}=2x$, $\widehat{C}=3x$, $\widehat{D}=4x$. Tính số đo các góc của tứ giác đó.

Lời giải tham khảo:

Tứ giác ABCD có: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} $ = 360°

⇒ x + 2x + 3x + 4x = 360° 

⇒ 10x = 360° ⇒ x = 36°

Vậy 

• $\widehat{A}$ = 36°
• $\widehat{B}$ = 2. 36° = 72°
• $\widehat{C}$ = 3. 36° = 108°
• $\widehat{D}$ = 4. 36° = 144°

Bài tập 6 trang 67 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Ta có tứ giác ABCD với AB = AD, CB = CD (Hình 13) là hình "cái diều".

a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD

b) Cho biết $\widehat{B}=95^{\circ},\widehat{C}=35^{\circ}$. Tính $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: AB = AD (gt) ⇒ A thuộc đường trung trực của BD

CB = CD (gt) ⇒ C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

b)  Xét ∆ABC và ∆ADC có:

• AB = AD (gt)
• CB = CD (gt)
• AC chung

⇒ ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)

⇒ $\widehat{B}=\widehat{D}$ = 95°

Ta có: $\widehat{A}$ = 360° - (95° + 95° + 35°) = 135°

Bài tập 7 trang 67 SGK Toán 8 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trên bản đồ, tứ giác BDNQ với các đỉnh là các thành phố Buôn Ma Thuột, Đà Lạt, Nha Trang, Quy Nhơn.

a) Tìm các cạnh kề và cạnh đối của cạnh BD

b) Tìm các đường chéo của tứ giác

Lời giải tham khảo:

a) Tứ giác BDNQ có:

•  Các cạnh kề gồm có: BD và BQ; DB và DN; ND và NQ; QN và QB;
•  Các cạnh đối gồm có: BD và NQ; DN và BQ.

b) Tứ giác BDNQ có các đường chéo là  BN và DQ.