1. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN

Câu hỏi 1: Cho biết hệ số và bậc của mỗi phương trình sau:

a) $2x^6$;         

b) $\frac{-1}{5}x^2$;           

c) -8;                 

d) $3^2x$.

Lời giải tham khảo:

a) $2x^6$

• Hệ số phương trình: 2
• Bậc phương trình: 6

b) $\frac{-1}{5}x^2$

• Hệ số phương trình: $\frac{-1}{5}$
• Bậc phương trình: 2

c) -8

• Hệ số phương trình: -8
• Bậc phương trình: 0

d) $3^2x$

• Hệ số phương trình: $3^2$
• Bậc phương trình: 1

Câu hỏi 2: Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc mấy?

Lời giải tham khảo:

Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc 5.

Luyện tập 1: Tính:

a) $5x^3 + x^3$;

b) $\frac{7}{4}x^5 – \frac{3}{4}x^5$

c) $(-0,25x^2).(8x^3)$

Lời giải tham khảo:

a) $5x^3 + x^3$

$= (5 + 1)x^3 

$= 6x^3$

b) $\frac{7}{4}x^5 – \frac{3}{4}x^5$ 

$= (\frac{7}{4} + \frac{3}{4})x^5$ 

$= \frac{5}{2}x^5$

c) $(-0,25x^2).(8x^3)$ 

$= (-0,25 . 8) (x^2.x^3)$ 

$= -2x^5$

2. KHÁI NIỆM ĐA THỨC MỘT BIẾN

Câu hỏi 3: Mỗi số thực có phải đa thức không? Tại sao?

Lời giải tham khảo:

Mỗi số thực không phải là đa thức vì nó không có biến.

Luyện tập 2: Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức $B = 2x^4 – 3x^2 + x + 1$

Lời giải tham khảo:

Đa thức B có 4 hạng tử gồm có: $2x^4$ ; $–3x^2$; $x$ và $1$

3. ĐA THỨC MỘT BIẾN THU GỌN

Luyện tập 3: Thu gọn đa thức $P = 2x^3 + 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$

Lời giải tham khảo:

P = $2x^3 + 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$

= $(2x^3 + 4x^3)  -5x^2 + (4x + x) + 9$

= $6x^3 – 5x^2 + 5x + 9$

4. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

Luyện tập 4: Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến:

a) $A = 3x – 4x^4 + x^3$;

b) $B = -2x^3 – 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 – 5$

c) $C = x^5 -  \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{4}x – x^5 + 6x^2 – 2$

Lời giải tham khảo:

a) $A = 3x – 4x^4 + x^3$

$= -4x^4 + x^3 + 3x$

b) $B = -2x^3 – 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 – 5$

$= (-2x^3 + 2x^3) + (-5x^2 + x^2) + 4x – 5$

$= -4x^2 + 4x – 5$

c) $C = x^5 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{4}x – x^5 + 6x^2 – 2$

$= (x^5 – x^5) - \frac{1}{2}x^3 + + 6x^2  + \frac{3}{4}x - 2$

$= \frac{1}{2}x^3 + + 6x^2  + \frac{3}{4}x - 2$

5. BẬC VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC

Xét đa thức $P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1$. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P và trả lời các câu hỏi sau:

Hoạt động 1: Trong P, bậc của hạng tử $5x^2$ là 2 (số mũ của $x^2$). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Lời giải tham khảo:

Bậc của hạng tử $-3x^4$ trong P là 4.

Bậc của hạng tử $5x^2$ trong P là 2.

Bậc của hạng tử $2x$ trong P là 1.

Bậc của hạng tử 1 trong P là 0.

Hoạt động 2: Trong P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Lời giải tham khảo:

Trong P, hạng tử $-3x^4$ có bậc cao nhất.

⇒ Hạng tử $-3x^4$ trong P có hệ số là –3 và bậc là 4.

Hoạt động 3: Trong P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Lời giải tham khảo:

Trong P, hạng tử 1 có bậc là 0.

Luyện tập 5: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) $5x^2 – 2x + 1 – 3x^4$;                             

b) $1,5x^2 – 3,4x^4 + 0,5x^2 – 1$.

Lời giải tham khảo:

a) $5x^2 – 2x + 1 – 3x^4$

• Hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức là $-3x^4$, bậc của nó là 4, hệ số là -3
• Hệ số tự do trong đa thức là 1.

b) $1,5x^2 – 3,4x^4 + 0,5x^2 – 1$.

• Hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức là $-3,4x^4$, bậc của nó là 4, hệ số là -3,4
• Hệ số tự do trong đa thức là -1.

6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Xét đa thức $G(x) = x^2 – 4$. Giá trị của biểu thức $G(x)$ tại $x = 3$ còn gọi là giá trị của đa thức $G(x)$ tại $x = 3$ và được kí hiệu là $G(3)$. Như vậy, ta có $G(3) = 3^2 - 4 = 5$.

Hoạt động 1: Tìm các giá trị $G(-2); G(-1); G(0); G(1); G(2).$

Lời giải tham khảo:

$G(-2) = (-2)^2 - 4 = 0$

$G(-1) = (-1)^2 - 4 = -3$

$G(0) = (0)^2 - 4 = -4$

$G(1) = (1)^2 - 4 = -3$

$G(2) = (2)^2 - 4 = 0$

Hoạt động 2: Với giá trị nào của x thì $G(x)$ có giá trị bằng 0?

Lời giải tham khảo:

Theo hoạt động 1, với giá trị x = 2 và x = -2 thì G(x) = 0.

Luyện tập 6:

1. Tính giá trị của đa thức $F(x) = 2x^2 - 3x - 2$ tại $x = -1; x = 0; x = 1; x = 2$. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức F(x).

2. Tìm nghiệm của đa thức $E(x) = x^2 + x$.

Lời giải tham khảo:

1. Ta có:

• $F(-1) = 3$
• $F(0) = -2$
• $F(1) = -3$
• $F(2) = 0$

⇒ Nghiệm của đa thức F(x) là 2.

2. E(0) = 0

⇒ Nghiệm của đa thức E(x) là 0

Vận dụng: Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức $H(x) = -5x^2 + 15x$.

b) Tại sao $x = 0$ là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

d) Tính giá trị của H(x) khi x = 1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Lời giải tham khảo:

a) Trong đa thức H(x), hạng tử $-5x^x$ có bậc cao nhất.

⇒ Hạng tử $-3x^4$ trong đa thức H(x) có hệ số là –5 và bậc là 2.

Hệ số tự do trong đa thức H(x) là 0.

b) x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x) vì tại x = 0, đa thức ta được giá trị của H(x) = 0.

⇒ Kết quả đó nói lên: 0 là một nghiệm của đa thức H(x) 

⇒ H(0) = 0

c) $H(1) = -5 . 1^2 + 15 . 1 = 10$

$H(2) =-5 . 2^2 + 15 . 2 = 10$

$H(3) = -5 . 3^2 + 15 . 3 = 0$

⇒ Kết luận:

• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 1 giây, thì độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 2 giây, thì độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 3 giây, thì vật rơi xuống mặt đất (0m).

7. BÀI TẬP 

Bài 7.5 trang 30 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

a) Tính $(\frac{1}{2}x^3).(-4x^2)$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

b) Tính $\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{2}x^3$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Lời giải tham khảo:

a) $(\frac{1}{2}x^3).(-4x^2)$

= $(\frac{1}{2}.(-4)).x^{3+2}$

= -2x⁵

• Hệ số của đơn thức: -2
• Bậc của đơn thức: 5

b) $\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{2}x^3$

= $(\frac{1}{2}- \frac{5}{2}).x^{3+3}$

= -2x⁶

• Hệ số của đơn thức: -2
• Bậc của đơn thức: 6

Bài 7.6 trang 30 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Cho hai đa thức:

$A(x) = x^3 + \frac{3}{2}x – 7x^4 + \frac{1}{2}x – 4x^2 + 9$

$B(x) = x^5 – 3x^2 + 8x^4 – 5x^2 – x^5 + x – 7$

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Lời giải tham khảo:

$A(x) = x^3 + \frac{3}{2}x – 7x^4 + \frac{1}{2}x – 4x^2 + 9$

=−7x⁴ + x³ – 4x² + 2x + 9

Ta có:

• Bậc cao nhất của đa thức: 4 
• Hệ số cao nhất của đa thức: -7 
• Hệ số tự do của đa thức: 9

$B(x) = x^5 – 3x^2 + 8x^4 – 5x^2 – x^5 + x – 7$

= 8x⁴ – 8x² + x– 7

Ta có:

• Bậc cao nhất của đa thức: 4 
• Hệ số cao nhất của đa thức: 8 
• Hệ số tự do của đa thức: -7

Bài 7.7 trang 30 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Cho hai đa thức:

 $P(x) = 5x^3 + 2x^4 – x^2 + 3x^2 – x^3 – 2x^4 – 4x^3$ 

 $Q(x) = 3x – 4x^3 + 8x^2 – 5x + 4x^3 + 5$

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.

b) Sử dụng kết quả câu a để tính $P(1), P(0), Q(-1)$ và $Q(0) $.

Lời giải tham khảo:

a) P(x) = $(2x^4 – 2x^4) + (5x^3 – x^3 – 4x^3)  + (-x^2 + 3x^2)$

= $2x^2$

Q(x) = $3x – 4x^3 + 8x^2 – 5x + 4x^3 + 5$

= $(-4x^3 + 4x^3) + 8x^2  + (3x – 5x) + 5$

= $8x^2 – 2x + 5$

b) P(-1) = 2

P(0) = 0

Q(-1) = 15

Q(0) = 5

Bài 7.8 trang 30 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m$^3$ nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m$^3$ nước. Sau khi cả hai máy chạy trong $x$ giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.  Hãy viết đa thức (biến $x$) biểu thị dung tích của bể (m$^3$), biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m$^3$ nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó. 

Lời giải tham khảo:

Đa thức (biến x) biểu thị dung tích của bể: 

B = 1,5 + 22x + 16x + 0,5. 16

= 38x + 9,5

Hệ số cao nhất của đa thức: 38 trong hạng tử 38x

Hệ số tự do của đa thức: 9,5

Bài 7.9 trang 30 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Viết đa thức $F(x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

  Bậc của F(x) bằng 3.

  Hệ số của $x^2$ bằng hệ số của x và bằng 2.

  Hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.

Lời giải tham khảo:

F(x)= −6x³ + 2x² + 2x + 3

Bài 7.10 trang 30 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Kiểm tra xem:

a) $x = \frac{-1}{8}$ có phải là nghiệm của đa thức $P(x) = 4x + \frac{1}{2}$ không?

b) Trong ba số 1;-1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức $Q(x) = x^2 + x – 2$?

Lời giải tham khảo:

a) Thay x = $\frac{-1}{8}$ vào đa thức P(x) = 4x + $\frac{1}{2}$ ta được:

$P(\frac{1}{8})$ 

= 4. $\frac{-1}{8}$ + $\frac{1}{2}$ 

= 0

⇒ x = $\frac{-1}{8}$ là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + $\frac{1}{2}$

b) Thay x = 1; x = -1; x = 2 vào của đa thức Q(x) = $x^2$ + x – 2, ta được:

• Q(1) = $1^2$ + 1 – 2 = 0
• Q(-1) = $(-1)^2$ - 1 – 2 = -2
• Q(2) = $2^2$ + 2 – 2 = 4

⇒ Nghiệm của đa thức Q(x) là: 1

Bài 7.11 trang 30 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).

a) Hãy tìm đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Lời giải tham khảo:

a) Q(x)= 100 – (37 + x)

= 63 – x

Bậc của đa thức trên alaf: bậc 1

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho nên: 

Q(x) = 0 ⇒ 63–x=0

⇒ x=63

⇒ Giá của cuốn sách là 63 nghìn đồng.