1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Thực hành 1. Tính \(\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3}\); \(\left ( \frac{-3}{5} \right )^{2}\); (-0,5)³; (-0,5)²; (37,57)⁰; (3,57)¹

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• \(\left ( \frac{-2}{3} \right )^{3}=\frac{-8}{27}\).
• \(\left ( \frac{-3}{5} \right )^{2}=\frac{9}{25}\).
• (-0,5)³ =\(\left ( \frac{-1}{2} \right )^{3}=\frac{-1}{8}\).
• (-0,5)² = \(\left ( \frac{-1}{2} \right )^{2} =\frac{1}{4}\).
• (37,57)⁰ = 1.
• (3,57)¹ = 3,57.

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:

Hoạt động khám phá 1. Tìm số thích hợp thay vào dấu "?" trong các câu dưới đây:

a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}.\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}\)

b) (0,2)². (0,2)³ = \( (0,2)^{?}\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}.\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{4}\).

b) (0,2)². (0,2)³ = (0,2)⁵.

Thực hành 2. Tính:

a) (-2)². (-2)³

b) (-0,25)⁷ :(-0,25)⁵

c) \({{\left( \frac{3}{4} \right)}^{4}}.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}

Lời giải tham khảo:

a)  (-2)². (-2)³ = (0,2)⁵.

b) \({{\text{(-0,25)}}^{\text{7}}}\text{:(-0,25}{{\text{)}}^{\text{5}}}={{\text{(-0,25)}}^{2}}\).

c) \({{\left( \frac{3}{4} \right)}^{4}}.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}=\frac{3}{4}\).

3. Lũy thừa của lũy thừa

Hoạt động khám phá  2. Tính và so sánh

 a)  [(-2)²]³ và (-2)⁶

b) \(\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right ]^{2}\) và \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}\)

Lời giải tham khảo:

a) [(-2)²]³ = (-2)⁶.

b) \(\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right ]^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}\)

Thực hành 3: Thay số thích hợp vào dấu "?" trong các câu sau:

a) \(\left [ \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2} \right ]^{?}\).

b)  [(0,4)³]³ = \((0,4)^{?}\)

c)  [(7,3)³]⁰ = ?

Lời giải tham khảo:

a) \(\left [ \left ( \frac{-2}{3} \right )^{2} \right ]^{5}= \left ( \frac{2}{3} \right )^{10}\).

b)  [(0,4)³]³ = (0,4)⁹.

c)  [(7,3)³]⁰ = 1.

Vận dụng: Để viết những số có giá trị lớn, người ta thường viết các số ấy dưới dạng tích của lũy thừa cơ số 10 với một số lớn hơn hoặc bằng 1 nhưng nhỏ hơn 10. Chẳng hạn khoảng cách trung bình giữa Mặt Trời và Trái Đất là 149 600 000 km được viết là 1,496. 10⁸ km. Hãy dùng cách viết trên để viết các đại lượng sau:

a) Khoảng cách từ Mặt Trời đến Sao Thủy dài khoảng 58 000 000 km.

b) Một năm ánh sáng có độ dài khoảng 9 460 000 000 km.

Lời giải tham khảo:

a) Khoảng cách từ Mặt Trời đến Sao Thủy dài khoảng 58 000 000 km, ta có: 

58 000 000 km = 5,8. 10⁷ km.

b) Một năm ánh sáng có độ dài khoảng 9 460 000 000 km, ta có: 

9 460 000 000 km = 9,46. 10⁹ km.

4. Bài tập

Bài 1 (Trang 20 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo): Viết các số sau dưới dạng lũy thừa với số mũ lớn hơn 1: 0,49; \(\frac{1}{{32}};\frac{{ - 8}}{{125}}; \frac{{16}}{{81}}; \frac{{121}}{{169}}\)

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• 0,49 = 0,7.0,7 = (0,7)².
• \(\frac{1}{{32}} = \frac{1}{{2.2.2.2.2}} = \frac{1}{{{2^5}}} = \frac{{{1^5}}}{{{2^5}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\).
• \(\frac{{ - 8}}{{125}} = \frac{{\left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)}}{{5.5.5}} = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{{{5^3}}} = {\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^3}\).
• \(\frac{{16}}{{81}} = \frac{{4.4}}{{9.9}} = \frac{{{4^2}}}{{{9^2}}} = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}\).
• \(\frac{{121}}{{169}} = \frac{{11.11}}{{13.13}} = \frac{{{{11}^2}}}{{{{13}^2}}} = {\left( {\frac{{11}}{{13}}} \right)^2}\).

Bài 2 (Trang 20 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo)

a) Tính: \({\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^5};{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^4};{\left( { - 2\frac{1}{4}} \right)^3};{\left( {0,3} \right)^5}\); (-25,7)⁰.

b) Tính \({\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2};{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3};{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4};{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^5}\)

Hãy rút ra nhận xét về dấu của lũy thừa với số mũ chẵn và lũy thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm.

Lời giải tham khảo:

a) Ta có:

• \({\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^5} = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{32}}\)
• \({\left( { - 2\dfrac{1}{4}} \right)^3} = {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^3} = \left( { - \dfrac{9}{4}} \right).\left( { - \dfrac{9}{4}} \right).\left( { - \dfrac{9}{4}} \right) = \dfrac{{ - 729}}{{64}}\)
• \({\left( { - 0,3} \right)^5} = \left( { - 0,3} \right).\left( { - 0,3} \right).\left( { - 0,3} \right).\left( { - 0,3} \right).\left( { - 0,3} \right) = - 0,00243\)
• (-25,7)⁰ = 1.

b) Ta có:

• \({\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{9}\)
• \({\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^3} = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{27}}\)
• \({\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^4} = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{{81}}\)
• \({\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^5} = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{243}}\)

Nhận xét:

• Luỹ thừa của một số hữu tỉ âm có số mũ chẵn sẽ là một số hữu tỉ dương.
• Luỹ thừa của một số hữu tỉ âm có số mũ lẻ sẽ là một số hữu tỉ âm.

Bài 3 (Trang 20 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo): Tìm x biết:

a) \(x:{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^3} = - \frac{1}{2}\)

b) \(x.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^7} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^9}\)

c) \({\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^{11}}:x = {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^9}\)

d) \(x.{\left( {0,25} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}\)

Lời giải tham khảo:

a) \(x:{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^3} = - \frac{1}{2}\)

\(\begin{matrix} \Leftrightarrow x = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).{\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^3} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^1}.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^3} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^{1 + 3}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^4} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}\)

b) \(x.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^7} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^9}\)

\(\begin{matrix} \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^9}:{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^7} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{9 - 7}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{25}} \hfill \\ \end{matrix}\)

c) \({\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^{11}}:x = {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^9}\)

\(\begin{matrix} \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^{11}}:{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^9} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^{11 - 9}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{9} \hfill \\ \end{matrix}\)

d) \(x.{\left( {0,25} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}\)

\(\begin{matrix} \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^8}:{\left( {0,25} \right)^6} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^8}:{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^6} \hfill \\ \Leftrightarrow x = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{8 - 6}} = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}\)

Bài 4 (Trang 21 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo): Viết các số  (0,25)⁸ ; (0,125)⁴; (0,0625)² dưới dạng lũy thừa cơ số 0,5.

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• (0,25)⁸ = [(0,5)²]⁸ = (0,5)¹⁶.
• (0,125)⁴= [(0,5)³]⁴ = (0,5)¹².
• (0,0625)² = [(0,5)⁴]² = (0,5)⁸.

Bài 5 (Trang 21 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo): Tính nhanh:

M = (100 -1) . (100 - 2²) . (100 - 3²) .... (100 -50²)

Lời giải tham khảo:

Ta có: M = (100 -1) . (100 - 2²) . (100 - 3²) .... (100 -50²)

M = (10² -1) . (10² - 2²) . (10² - 3²) … (10² - 10²) ... (10² -50²)

M = 0.

Bài 6 (Trang 21 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo): Tính:

a) \(\left[ {{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^4}.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^5}} \right]:{\left( {\frac{3}{7}} \right)^7}\)

b) \(\left[ {{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^5}:{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^4}} \right].\frac{7}{8}\)

c) \(\left[ {{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^5}:{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^4}} \right].\frac{7}{8}\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\left[ {{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^4}.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^5}} \right]:{\left( {\frac{3}{7}} \right)^7}\)

\(= {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{4 + 5 - 7}}\)

\(= {\left( {\frac{3}{7}} \right)^2} = \frac{9}{{49}}\)

b) \(\left[ {{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^5}:{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^4}} \right].\frac{7}{8}\)

\(= \left[ {{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^5}:{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^4}} \right].{\left( {\frac{7}{8}} \right)^1}\)

\(= {\left( {\frac{7}{8}} \right)^{5 - 4 + 1}}\)

\(= {\left( {\frac{7}{8}} \right)^2} = \frac{{49}}{{64}}\)

c) \(\left[ {{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^5}:{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^4}} \right].\frac{7}{8}\)

\(\begin{matrix} = {\left( {0,6} \right)^{3 + 8}}:{\left( {0,6} \right)^{7 + 2}} \hfill \\ = {\left( {0,6} \right)^{11}}:{\left( {0,6} \right)^9} \hfill \\ = {\left( {0,6} \right)^{11 - 9}} \hfill \\ = {\left( {0,6} \right)^2} \hfill \\ \end{matrix}\)

= 0,36

Bài 7 (Trang 21 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo): Tính:

a) \({\left( {\frac{2}{5} + \frac{1}{2}} \right)^2}\)

b) \({\left( {0,75 - 1\frac{1}{2}} \right)^3}\)

c) \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {0,36} \right)^5}\)

d) \({\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{4}{9}} \right)^3}\)

Lời giải tham khảo:

a) \({\left( {\frac{2}{5} + \frac{1}{2}} \right)^2}\)

\(= {\left( {\frac{4}{{10}} + \frac{5}{{10}}} \right)^2}\)

\(= {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^2}\)

\(= \frac{{{9^2}}}{{{{10}^2}}}\)

\(= \frac{{81}}{{100}}\)

b) \({\left( {0,75 - 1\frac{1}{2}} \right)^3}\)

\(= {\left( {\frac{3}{4} - \frac{3}{2}} \right)^3}\)

\(= {\left( {\frac{3}{4} - \frac{6}{4}} \right)^3}\)

\(= {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^3}\)

\(= - \frac{{27}}{{64}}\)

c) \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {0,36} \right)^5}\)

\(= {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {\frac{9}{{25}}} \right)^5}\)

\(= {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {\frac{{{3^2}}}{{{5^2}}}} \right)^5}\)

\(= {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15 - 10}}\)

\(= {\left( {\frac{3}{5}} \right)^5}\)

\(= \frac{{243}}{{3125}}\)

d) \({\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{4}{9}} \right)^3}\)

\(= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{4}{9}} \right)^3}\)

\(= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{{{2^2}}}{{{3^2}}}} \right)^3}\)

\(= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^8}:{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right]^3}\)

\(= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{2}{3}} \right)^6}\)

\(= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{8 - 6}}\)

\(= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9}\)

Bài 8 (Trang 21 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo): Tính giá trị các biểu thức:

a) \(\frac{{{4^3}{{.9}^7}}}{{{{27}^5}{{.8}^2}}}\)

b) \(\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}.{{\left( { - 2} \right)}^7}}}{{{{3.4}^6}}}\)

c) \(\frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left( {0,09} \right)}^3}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}}\)

d) \(\frac{{{2^3} + {2^4} + {2^5}}}{{{7^2}}}\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\frac{{{4^3}{{.9}^7}}}{{{{27}^5}{{.8}^2}}}\)

\(= \frac{{{{\left( {{2^2}} \right)}^3}.{{\left( {{3^2}} \right)}^7}}}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}} \)

\(= \frac{{{2^{2.3}}{{.3}^{2.7}}}}{{{3^{3.5}}{{.2}^{3.2}}}}\)

\(= \frac{{{2^6}{{.3}^{14}}}}{{{3^{15}}{{.2}^6}}}\)

\(= \frac{{{3^{14}}}}{{{3^{15}}}} = \frac{1}{3}\)

b) \(\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}.{{\left( { - 2} \right)}^7}}}{{{{3.4}^6}}}\)

\(= \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^{3 + 7}}}}{{3.{{\left( {{2^2}} \right)}^6}}}\)

\(= \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{{{3.2}^{2.6}}}}\)

\(= \frac{{{2^{10}}}}{{{{3.2}^{12}}}}\)

\(= \frac{1}{{{{3.2}^2}}} = \frac{1}{{12}}\)

c) \(\frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left( {0,09} \right)}^3}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}}\)

\(= \frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left[ {{{\left( {0,3} \right)}^2}} \right]}^3}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}} \)

\(= \frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left( {0,3} \right)}^{2.3}}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}}\)

\(= \frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left( {0,3} \right)}^6}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}}\)

\(= \frac{{{{\left( {0,3} \right)}^2}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^2}}}\)

\(= {\left( {\frac{{0,3}}{{0,2}}} \right)^2}\)

\(= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\)

d) \(\frac{{{2^3} + {2^4} + {2^5}}}{{{7^2}}}\)

\(= \frac{{8 + 16 + 32}}{{49}}\)

\(= \frac{{56}}{{49}} = \frac{8}{7}\)

Bài 9 (Trang 21 SGK tập 1 Chân Trời Sáng Tạo)

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5,97 . 10²⁴kg, khối lượng của Mặt Trăng khoảng 7,35 . 10²⁴kg. Tính tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng.

b) Sao Mộc cách Trái Đất khoảng 8,27 . 10⁸km, Sao Thiên Vương cách Trái Đất khoảng 3,09. 10⁹ Sao nào ở gần Trái Đất hơn?

Lời giải tham khảo:

a) Ta có: 5,97.10²⁴ kg = 597.10²² kg.

Tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là:

597.10²² + 7,35.10²² = (597 + 7,35).10²² = 604,35.10²² (kg)

Vậy tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là 604,35.10²² kg.

b) Ta có: 3,09.10⁹ km = 30,9.10⁸ km.

Vì 30,9 > 8,27

⇒ 30,9.10⁸ > 8,27.10⁸.

⇒ 8,27.10⁸ km < 3,09.10⁹ km. 

⇒ Sao Mộc gần Trái Đất hơn.