1. Tam giác cân

Hoạt động khám phá 1: Gấp đôi một tờ giấy hình chữ nhật ABCD theo đường gấp MS. Cắt hình gấp được theo đường chéo AS rồi trải phẳng hình cắt được ra ta có tam giác SAB (Hình 1). Em hãy so sánh hai cạnh SA và SB của tam giác này.

Lời giải tham khảo:

Ta có: SA = SB.

Thực hành 1: Tìm các tam giác cân trong Hình 4. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của mỗi tam giác cân đó.

Lời giải tham khảo:

2. Tính chất của tam giác cân

Hoạt động khám phá 2: Cho tam giác cân ABC cân tại A (Hình 5). Gọi M là trung điểm cạnh BC. Nối A với M. Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

• AB = ? (?)
• MB = MC (?)
• AM là cạnh ?

Vậy $\Delta AMB = \Delta AMC$ (c.c.c).

⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

Lời giải tham khảo:

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

• AB = AC 
• MB = MC 
• AM là cạnh góc vuông

Vậy $\Delta AMB = \Delta AMC$ (c.c.c).

⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

Thực hành 2: Tìm số đo các góc chưa biết của mỗi tam giác trong Hình 7.

Lời giải tham khảo:

Tam giác MNP có MN = MP 

⇒ $\Delta MNP$ cân tại M.

⇒ $\widehat{N} = \widehat{P} = 70^{0}$

⇒ $\widehat{M} = 180^{0} - 70^{0} - 70^{0} = 40^{0}$

b. Tam giác EFH có EF = FH 

⇒ $\Delta EFH$ cân tại E.

⇒ $\widehat{F} = \widehat{H} = (180^{0} - 70^{0}) : 2 = 55^{0}$.

Vận dụng 1: Trong hình mái nhà ở Hình 8, tính góc B và góc C, biết $\widehat{A}=110^{o}$.

Lời giải tham khảo: 

Tam giác ABC có AB = AC 

⇒ $\Delta ABC$ cân tại A.

⇒ $\widehat{B} = \widehat{C} = (180^{0} - 110^{0}) : 2 = 35^{0}$.

Hoạt động khám phá 3: Cho tam giác ABC có $\widehat{A} = \widehat{C}$. Vẽ đường thẳng đi qua điểm B, vuông góc với AC và cắt AC tại H (Hình 9). Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh BA = BC.

Lời giải tham khảo:

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHB$ cùng vuông tại H, ta có:

• BH là cạnh góc vuông 
• $\widehat{HAB} = \widehat{HCB}$ 

⇒ $\widehat{ABH} = \widehat{CBH}$ (vì $\widehat{ABH} = 90^{o} - $\widehat{HAB}$ và $\widehat{CBH}= 90^{o} - $\widehat{HCB}$.

Vậy $\Delta AHB = \Delta CHB$. 

⇒ BA = BC.

Thực hành 3: Tìm các tam giác cân trong Hình 11 và đánh dấu các cạnh bằng nhau.

Lời giải tham khảo:

Các tam giác cân: $\Delta ABC$ cân tại A, $\Delta MNP$ cân tại N.

Vận dụng 2: Cho tam giác ABC cân tại A có góc B bằng $60^{o}$. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải tham khảo:

Vì $\Delta ABC$ có AB = AC 

⇒ $\Delta ABC$ cân tại A.

⇒ $\widehat{ABC}= \widehat{ACB}= 60^{o}$.

⇒ $\widehat{ACB} = 180^{0} - 60^{0} - 60^{0} = 60^{0}$

$\widehat{BAC}= \widehat{BCA}= 60^{o}$.

⇒ $\Delta ABC$ cân tại B

⇒ BA = BC.

Theo chứng minh trên: AB = AC = BC

⇒ $\Delta ABC$ tam giác đều.

3. BÀI TẬP

Bài 1 trang 62 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Tìm các tam giác cân và tam giác đều trong mỗi hình sau (Hình 13). Giải thích.

Lời giải tham khảo:

a. $\Delta ABM$ đều vì AB = AM = BM

$\Delta AMC$ cân tại M vì AM= MC

b. $\Delta EHF$ cân tại E vì EH = EF

$\Delta EDG$ đều vì: ED = EG = DG

$\Delta EDH$ cân tại D vì DE = DH

$\Delta EGF$ cân tại G vì GE = GF

c. $\Delta EGH$ cân tại E vì EG = EH

$\Delta IGH$ đều vì $\widehat{I} = 60^{0}$, IG = IH

d. $\Delta MBC$ cân tại C vì $\widehat{M} = \widehat{B} = 71^{0}$.

($\widehat{B} = 180^{o} - 71^{o} - 38^{o} = 71^{o} $).

Bài 2 trang 62 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của $\widehat{DEF}$.

Chứng minh rằng:

a. $\Delta EID = \Delta EIF$

b. Tam giác DIF cân.

Lời giải tham khảo:

a. Xét $\Delta EID$ và $\Delta EIF$ có:

• EI chung
• $\widehat{DEI} = \widehat{IEF}$
• DE = EF.

⇒  $\Delta EID = \Delta EIF$ (c.g.c)

b. Vì $\Delta EID = \Delta EIF$ (chứng minh trên)

⇒  ID = IF

⇒  Tam giác DIF cân tại I.

Bài 3 trang 62 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A} = 56^{0}$

a. Tính $\widehat{B}, \widehat{C}$.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Lời giải tham khảo:

a. Vì tam giác ABC cân tại A 

⇒ $\widehat{B} = \widehat{C} = (180^{0} - 56^{0}) : 2 = 62^{0}$

b. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC 

⇒ AM = MB = $\frac{AB}{2}$, AM = MC = $\frac{AC}{2}$ mà AB = AC ( vì $\Delta ABC$ cân)

⇒ AM = AN

⇒ Tam giác AMN cân tại A.

c. Xét $\Delta AMN$ cân tại A có:  $\widehat{AMN} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

Xét  $\Delta ABC$ cân tại A có: $\widehat{ABC} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

⇒  $\widehat{AMN}  = \widehat{ABC}$ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

⇒ MN // BC.

Bài 4 trang 62 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A (hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng $\widehat{ABF} = \widehat{ACE}$

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Lời giải tham khảo:

a) Vì tam giác ABC cân tại A

⇒ $\widehat{B} = \widehat{C}$ mà $\widehat{ABF} = \frac{1}{2}\widehat{B}$;  $\widehat{ACE}= \frac{1}{2}\widehat{C}$

⇒ $\widehat{ABF} = \widehat{ACE}$

b) Xét tam giác $\Delta AEC$ và $\Delta AFB$ có:

• $\widehat{A}$ chung
• AB = AC
• $\widehat{ABF} = \widehat{ACE}$

⇒ $\Delta AEC = \Delta AFB$ (g.c.g)

⇒ AE = AF 

⇒ Tam giác AEF cân tại A.

c) Chứng minh tương tự câu a ta có: $\widehat{IBC} = \widehat{ICB}$

Xét tam giác IBC có:  $\widehat{IBC} = \widehat{ICB}$ 

⇒ $\Delta IBC$ cân tại I.

$\Delta IBC$ cân tại I ⇒ IB = IC

$\Delta AEC = \Delta AFB$ 

⇒ BF = CE

Ta có: IE = CE - IC; IF = BF - BI

⇒ IE = IF

⇒ $\Delta IEF$ cân tại I.

Bài 5 trang 62 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân (Hình 17a) được vẽ lại như Hình 17b. Cho biết AB = 20cm; BC = 28cm và $\widehat{B} = 35^{0}$. Tìm số đo các góc còn lại và chu vi của tam giác ABC.

Lời giải tham khảo:

Vì tam giác ABC cân tại A

⇒ AB = AC = 20cm; $\widehat{B} = \widehat{C} = 35^{0}$

⇒ $\widehat{A} = 180^{0} - 35^{0} - 35^{0}= 110^{0}$

Chu vi tam giác ABC 

C= AB + AC + BC = 20 + 20 + 28 = 68 (cm).

Bài 6 trang 62 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b

a. Cho biết $\widehat{A_{1}} = 42^{0}$. Tính số đo của $\widehat{M_{1}}$, $\widehat{B_{1}}$, $\widehat{M_{2}}$

b. Chứng minh MN // BC, MP // AC.

c. Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Lời giải tham khảo:

a. Vì AM = AN

⇒ ΔAMN cân tại A

⇒ $\widehat{M_{1}} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}=69^{0}$.

Trong ΔABC có AB = BC (vì AM = AN = BM = CN; AB = AM + MB; AC = AN + NC)

⇒ ΔABC cân tại A

⇒ $\widehat{B_{1}} =\frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}=69^{0}$.

Trong ΔMBP có MB = MP

⇒ ΔMBP cân tại M 

⇒ $\widehat{M_{2}} = 180^{o}- 2.\widehat{B_{1}} = 42^{0}$

b. Vì $\widehat{M_{1}} = \widehat{B_{1}}$ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

⇒ MN // BC

Ta có:  $\widehat{M_{2}} =  \widehat{A_{1}} = 42^{0}$ mà hai góc ở vị trí đồng vị

⇒ MP // AC.

c. Xét $\Delta AMN$ và $\Delta MBP$ có:

• AM = MB
• $\widehat{M_{2}} =  \widehat{A_{1}} = 42^{0}$
• AN = MP

⇒ $\Delta AMN$ = $\Delta MBP$ (c.g.c).

Xét $\Delta PMN$ và $\Delta NPC$ có:

• PM = NP
• $\widehat{MPN} =  \widehat{PNC}$ (vì MP // AC, hai góc ở vị trí so le trong).
• PN = NC

⇒ $\Delta PMN$ = $\Delta NPC$ (c.g.c)

Xét $\Delta PMN$ và $\Delta AMN$ có:

• MN chung
• PM = AM
• PN = AN

⇒ $\Delta PMN$ = $\Delta AMN$ (c.c.c).

Vậy bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.