1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 2: Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng,đánh dấu các đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC(H.9,29).Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cắt nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.

• AM có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không ?
• Hãy xác định các tỉ số $\frac{GA}{MA}$, $\frac{GB}{NB}$ , $\frac{GC}{PC}$

Lời giải tham khảo: 

AM chính là đường trung tuyến của ∆ABC

•  $\frac{GA}{MA}$ =  $\frac{6}{9}$ =  $\frac{2}{3}$
• $\frac{GB}{NB}$ =  $\frac{4}{6}$=  $\frac{2}{3}$
•  $\frac{GC}{PC}$ =  $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Luyện tập 1: Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.

Lời giải tham khảo:

Vì G là trọng tâm ∆ABC 

⇒ GB = $\frac{2}{3}$ BN 

⇒ GN = $\frac{1}{3}$ BN

Ta có GN = 1 cm 

⇒ BN = 3.GN = 3.1 = 3 cm

⇒ GB = $\frac{2}{3}$ BN = $\frac{2}{3}$ . 3= 2 cm

Vậy BN= 3 cm và GB = 2 cm

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không ?

Lời giải tham khảo:

∆ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại I 

⇒ Đường phân giác của góc C đi qua I.

⇒ CI là đường phân giác của góc C.

Vận dụng 2: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Lời giải tham khảo:

Gọi tam giác đều đã cho là ∆ABC, O là điểm cách đều ba cạnh, OM,ON, OP lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, AC, BC, 3 đường phân giác là AP, BN và CM.

Ta có OM = ON = OP 

⇒ O là điểm đồng quy của 3 đường phân giác của ∆ABC

∆ABC là một tam giác đều 

⇒ AP, BN và CM sẽ đồng thời là 3 đường trung tuyến của ∆ABC

⇒ O là trọng tâm của tam giác ∆ABC.

3. BÀI TẬP

Bài 9.20 trang 76 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN,CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu ''?'' để được các đẳng thức: BG = ? BN, CG = ? CP; BG = ? GN, CG = ? GP

Lời giải tham khảo:

G là trọng tâm của ∆ABC

⇒ CG =$\frac{2}{3}$ CP 

⇒ CG= 2 GP

Chứng minh tương tự: BG = $\frac{2}{3}$ BN 

⇒ BG= 2 GN

Bài 9.21 trang 76 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh rằng

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau

b) Ngược lại nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

Lời giải tham khảo:

a) Ta có ∆ABC cân tại A. BD và CE là trung tuyến với E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC

∆ABC cân tại A 

⇒ AB = AC

Ta có : AE = $\frac{1}{2}$ AB. AD= $\frac{1}{2}$ AC

⇒ AE= AD

Xét ∆ABD và ∆ACE ta có:

• $\widehat{A}$ chung
• AE=AD
• AB= AC

⇒ ∆ABD  = ∆ACE ⇒ BD= CE

b) Gọi O là giao điểm của CE và BD

Ta có CE và BD là 2 đường trung tuyến 

⇒ O sẽ là trọng tâm của ∆ABC , nên ta có:

• BO = $\frac{2}{3}$ BD. OD= $\frac{1}{3}$ BD
• CO= $\frac{2}{3}$ CE. OE = $\frac{1}{3}$ CE
• CE= BD

⇒ BO= CO, OD= OE

Xét ∆EOB và ∆DOC ta có:

• BO= OC
• OD= OE
• $\widehat{EOB}$ = $\widehat{DOC}$ ( 2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆EOB = ∆DOC

⇒ EB = DC

Ta có EB= $\frac{1}{2}$ AB, DC= $\frac{1}{2}$ AC mà EB= DC

⇒ AB= AC

⇒ ∆ABC cân tại A

Bài 9.22 trang 76 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN

Lời giải tham khảo:

BM, CN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại 

⇒ G là trọng tâm của ∆ABC

⇒ BG= $\frac{2}{3}$BM, CG= $\frac{2}{3}$CN (1)

Xét theo định lí quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác ta có

Trong ∆GBC: $\widehat{GBC} > \widehat{GCB}$

⇒ CG > GB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CN > BM

Bài 9.23 trang 76 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức:  Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC = 120°

Lời giải tham khảo:

Ta có I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong ∆ABC

⇒ AI, BI, CI lần lượt là đường phân giác của 3 góc $\widehat{BAC}$, $\widehat{ABC}$, $\widehat{ACB}$

Ta có: $\widehat{BAC}$ = 120° 

⇒ $\widehat{ABC}$ +$\widehat{ACB}$ = 60°

Ta có : 

• $\widehat{IBC}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ABC}$
• $\widehat{ICB}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ACB}$

⇒ 2 $\widehat{IBC}$ + 2  $\widehat{ICB}$ = 60°

⇒ $\widehat{IBC}$ +   $\widehat{ICB}$ = 30°

Xét trong∆BC ta có: $\widehat{IBC}$ +   $\widehat{ICB}$ + $\widehat{BIC}$ = 180°

⇒ $\widehat{BIC}$ = 180° - 30°= 150°

Bài 9.24 trang 76 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chúng minh BE= CF

Lời giải tham khảo:

∆ABC cân tại A 

⇒ AB = AC, $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (1)

BE là đường phân giác của $\widehat{ABC}$

⇒ $\widehat{ABE} = \frac{1}{2} \widehat{ABC}$ (2)

CF là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ 

⇒ $\widehat{ACF} = \frac{1}{2} \widehat{ACB}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$

Xét ∆ABE và ∆ACF, ta có:

• $\widehat{BAC}$ chung
• AB= AC
• $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$

⇒  ∆ABE = ∆ACF

⇒ BE = CF

Bài 9.25 trang 76 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB

a) Hãy giải thích tại sao DP= DR

b) Hãy giải thích tại sao DP= DQ

c) Từ câu a và b suy ra DR= DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A

Lời giải tham khảo:

a) Ta có ∆BPD và ∆BRD đều là tam giác vuông tại $\widehat{DRB}$ và $\widehat{DPB}$

Xét 2 tam giác vuông là  ∆BRD và ∆BPD ta có:

• Chung cạnh BD
• $\widehat{DBR}$ = $\widehat{DBP}$ ( BD là phân giác của $\widehat{ABC}$ hay $\widehat{RBP}$ )

⇒ ∆BRD = ∆BPD

⇒ DR= DP

b) Ta có ∆CPD và ∆CQD đều là tam giác vuông tại $\widehat{DPC}$ và $\widehat{DQC}$

Xét 2 tam giác vuông là  ∆CPD và ∆CQD ta có:

• Chung cạnh CD
• $\widehat{PCD}$ = $\widehat{QCD}$ ( CD là phân giác của $\widehat{ACB}$ hay $\widehat{QCP}$ )

⇒ ∆CPD = ∆CQD

⇒ DP= DQ

c) Từ a và b ⇒ DR= DQ

Xét 2 tam giác vuông là  ∆ARD và ∆AQD ta có:

• Chung cạnh AD
• DR= DQ

⇒ ∆ARD = ∆AQD

⇒ $\widehat{RAD}$ = $\widehat{QAD}$ 

⇒ D nằm trên đường phân giác của $\widehat{BAC}$