1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 1: Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Lời giải tham khảo:

Ba đường trung trực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D.

Hoạt động 2: Dùng tính chất đường trung thực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở Hành động 1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)

a) Tại sao OB=OC, OC=OA

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không ?

Lời giải tham khảo:

a) Gọi M là giao điểm của BC với đường trung trực của BC

⇒ OM là đường trung trực của BC, OM⊥ BC

Xét ∆OBM vuông tại M và ∆OCM vuông tại M ta có:

• MB= MC ( M là trung điểm của CB)
• OM chung

⇒ ∆OBM = ∆OCM 

⇒ OB= OC

Chứng minh tương tự, ta có OC= OA

b) Từ câu a ta có OA=OB

⇒ ∆OAB là tam giác cân tại O

Kẻ ON ⊥ AB

⇒ ON là đường trung tuyến của AB và N là trung điểm của AB

⇒ O thuộc đường trung trực của AB

Luyện tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.

Lời giải tham khảo:

Gọi AN, CM, BP là 3 đường trung tuyến của tam giác đều ABC, giao nhau ở điểm G

Xét ∆ANB và ∆ANC, có:

• AN chung
• NB= NC
• AB= AC

⇒  ∆ANB = ∆ANC

⇒ $\widehat{BAN}$ = $\widehat{CAN}$

⇒ AN hay AG là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

Chứng minh tương tự BP hay BG là đường phân giác của $\widehat{ABC}$

⇒ G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC mag G là trọng tâm

⇒ G là giao điểm của 3 đường trung trực 

⇒ G cách đều 3 điểm A,B,C

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 3: Vẽ tam giác ABC và 3 đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không ?

Lời giải tham khảo:

Ba đường cao BN, AM và CP đều cùng đi qua điểm H

Luyện tập 2: 

a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Lời giải tham khảo:

a)

Gọi AD là đường trung tuyến và đường phân giác tại đỉnh A của ∆ABC

Xét  ∆ADB và ∆ADC, có:

• AB=AC
• DB=DC
• AD chung

⇒∆ADB = ∆ADC

⇒  $\widehat{ADB}$ = $\widehat{ADC}$ mà $\widehat{ADB}$ + $\widehat{ADC}$ = 180°

⇒ $\widehat{ADB}$ = $\widehat{ADC}$= 90°

⇒ AD vuông góc với BC mà DA=DB

⇒AD là đường trung trực của tam giác ABC

b) 

Gọi G là điểm cách đều 3 đỉnh của ∆ABC đều, GM, GN, GP là khoảng cách từ G đến AB, BC, AC

Xét ∆AGB và ∆AGC, có:

•  AG chung
• GB= GC
• AB= AC

⇒ AGB = ∆AGC

⇒ $\widehat{GAB}$ = $\widehat{GAC}$

⇒ AG là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

Chứng minh tương tự ta có: CG là đường phân giác của $\widehat{ACB}$

⇒ G là điểm giao nhau giữa 2 đường phân giác AG và CG

⇒ G cách đều 3 cạnh AB,AC, BC.

3. BÀI TẬP 

Bài 9.26 trang 81 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB

Lời giải tham khảo:

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét ∆HBC có HD ⊥ BC, BF ⊥ HC, HD cắt BF tại A 

⇒ A là trực tâm của ∆HCA.

Xét ∆HCA có HE ⊥ AC, BF ⊥ HC, HE cắt BF tại B 

⇒ B là trực tâm của ∆HCA.

Xét ∆HAB có HF ⊥ AB, AE ⊥ HB, HF cắt AE tại C 

⇒ C là trực tâm của ∆HAB.

Bài 9.27 trang 81 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ = 100° và trực tâm H. Tìm góc BHC

Lời giải tham khảo:

Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB, D là chân đường cao từ B xuống AC ⇒ HC ⊥ BE, HB ⊥ CD

Ta có $\widehat{BAC}$ + $\widehat{BAD}$ = 180°

⇒ 100° + $\widehat{BAD}$ = 180°

⇒ $\widehat{BAD}$ = 80°

∆ADB là tam giác vuông tại D 

⇒ $\widehat{BAD}$ + $\widehat{ABD}$ = 90°

⇒$\widehat{ABD}$ =  90°-  80° =  10°

⇒ $\widehat{EBH}$ = 10°

∆BEH là tam giác vuông tại E 

⇒ $\widehat{EBH}$ + $\widehat{BHE}$ = 90°

⇒$\widehat{BHE}$ =  90°-  10° =  80°

⇒ $\widehat{BHC}$ = 80°

Bài 9.28 trang 81 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông

Lời giải tham khảo:

O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC ⇒ O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC

⇒ OA= OB= Oc

⇒ ∆OAB cân tại O. 

⇒  $\widehat{OAB}$ = $\widehat{OBA}$

∆OAC cân tại O  

⇒  $\widehat{OAC}$ + $\widehat{OCA}$

Xét ∆OAB ta có : $\widehat{OAB}$ + $\widehat{OBA}$ + $\widehat{AOB}$=  180°

⇒ 2 $\widehat{OAB}$ + $\widehat{AOB}$=  180°

⇒ $\widehat{AOB}$=  180° -  2 $\widehat{OAB}$

Chứng minh tương tự ta có  $\widehat{AOC}$=  180° -  2.$\widehat{OAC}$

Ta có $\widehat{AOB}$ + $\widehat{AOC}$=  180°

=.> 180° -  2 $\widehat{OAB}$ + 180° -  2 $\widehat{OAC}$ = 180°

⇒ 360° - 180° = 2 $\widehat{OAB}$ +  2 $\widehat{OAC}$ 

⇒ 180°     =   2 ($\widehat{OAB}$ +   $\widehat{OAC}$ )

⇒ $\widehat{BAC}$ = 90°  

⇒ ∆ABC vuông tại A

Bài 9.29 trang 81 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

a) Có một chi tiết máy ( đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này ?

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học

Lời giải tham khảo:

a) Bước 1: Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.

Bước 2: Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC, hai đường trung trực này cắt nhau tại O ⇒ O là tâm cần xác định.

Bước 3: Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn OB (hoặc OA hoặc OC).

Ta có hình vẽ minh họa

b) Bước 1: Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC

Bước 2: 3 đường trung trực này cắt nhau tại M ⇒ MA= MB=MC ⇒ M là điểm cần xác định

Ta có hình minh họa

Bài 9.30 trang 81 toán 7 tập 2 Kết nối tri thức: Cho hai đường thẳng không vuông góc b,c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.

Lời giải tham khảo:

Bước 1. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng b và cắt đường thẳng c tại một điểm, điểm này chính là điểm C.

Bước 2. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng c và cắt đường thẳng b tại một điểm, điểm này chính là điểm B.

Bước 3. Nối hai điểm B, C ta được tam giác ABC.