1. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Hoạt động khám phá 1: Lấy một mảnh giấy như trong hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B ( hình 1b). Theo em nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm hay không?Tại sao ?

Lời giải tham khảo:

Nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm O.

Thực hành 1: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N, P  và trên cạnh DC lấy các điểm M', N', P'. Cho biết AM = MN = NP= PB và MM', NN', PP' đều song song với BC ( Hình 3). Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AB, AN và NB

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• BC ⊥ AB
• MM' // BC  

⇒ MM' ⊥ AB 

⇒ MM' ⊥ AN

Tương tự ta có: NN' ⊥ AB , PP' ⊥ NB

AM = MN⇒ M là trung điểm của AN mà M'M ⊥ AN

⇒ MM' là đường trung trực của AN

NP = PB ⇒ P là trung điểm của NB mà PP' ⊥ NB

⇒ PP' là đường trung trực của NB

 AM = MN = NP= PB 

⇒ AN= NB 

⇒ N là trung điểm của AB

NN' ⊥ AB. N là trung điểm của AB 

⇒ NN' là đường trung trực của AB.

Vận dụng 1: Trong hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không? Tại sao?

Lời giải tham khảo:

Xét ∆APD và ∆CPD có :

• AD = CD
• DP chung
• $\widehat{ADP}$ =  $\widehat{CDP}$ 

⇒ ∆APD = ∆CPD (g.c.g)

⇒ $\widehat{APD}$ =  $\widehat{CPD}$ mà $\widehat{APD}$ +  $\widehat{CPD}$ = 180°

⇒ 2 $\widehat{APD}$ = 180°

⇒ $\widehat{APD}$ = 90°

⇒ DP ⊥ AP 

⇒ DP ⊥ AC mà P là trung điểm của AC

⇒ DP là đường trung trực của AC, 

⇒ DB là đường trung trực của AC.

2. Tính chất của đường trung trực

Hoạt động khám phá 2: Cho đoạn thẳng AB lấy O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy M tùy ý thuộc d ( Hình 5). Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.

Lời giải tham khảo:

d là đường trung trực của AB tại điểm O 

⇒ ∆MOA và ∆MOB là hai tam giác vuông tại O.

Xét ∆MOA và ∆MOB cùng vuông tại đỉnh O ta có:

• MO chung
• AO = OB ( O là trung điểm của AB)

⇒ ∆MOA = ∆MOB (hai cạnh góc vuông)

⇒ MA = MB.

Thực hành 2: Trong hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.

Lời giải tham khảo:

M thuộc đường thẳng d mà d là đường trung trực của AB

⇒ MA = MB

⇒ x + 2 = 7 

⇔ x = 7 - 2 = 5.

Vậy x = 5.

Vận dụng 2: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau

• Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}$ AB ( Hình 9a).
• Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính trên ( Hình 9b).
• Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N ( Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.

Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Lời giải tham khảo:

Ta có M thuộc 2 đường tròn tâm A và B mà bán kính đường tròn tâm A bằng với bán kính đường tròn tâm B

⇒ MA = MB

⇒ M cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng B

⇒ M thuộc đường trung trực của AB

Tương tự ta có NA = NB

⇒ N cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB

⇒ N thuộc đường trung trực của AB

⇒ MN là đường trung trực của AB.

3. BÀI TẬP

Bài 1 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Hình 10 minh họa một tờ giấy có hình vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB mà hình ảnh điểm B bị nhòe mất. Hãy nêu cách xác định điểm B

Lời giải tham khảo:

Gọi O là giao điểm của đường trung trực xy với đoạn thẳng AB

⇒ O là trung điểm của AB

Lấy điểm B thuộc đường thẳng OA sao cho O là trung điểm AB.

⇒ Ta được điểm B

Bài 2 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 11, cho biết M là trung điểm BC, AM vuông góc với BC và AB = 10 cm. Tính AC.

Lời giải tham khảo:

Ta có:

• M là trung điểm của BC
• AM ⊥ BC

⇒ AM là đường trung trực của BC

⇒ AB = AC 

⇒ AC =10 cm.

Bài 3 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 12, cho biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC = 8 cm. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, D thẳng hàng.

Lời giải tham khảo:

AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

⇒ AB = AC, MB = MC

Ta có DB = DC = 8 cm

⇒ D cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng AB

⇒ D thuộc đường trung trực của AB

⇒ A, M, D cùng thuộc đường trung trực của AB

⇒ A, M, D thẳng hàng.

Bài 4 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 13, biết AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC

Lời giải tham khảo:

AB = AC 

⇒ A thuộc đường trung trực của BC

DB= DC 

⇒ D thuộc đường trung trực của BC

⇒ AD là đường trung trực của BC mà AD cắt BC tại M

⇒ M cũng thuộc đường trung trực AD

⇒ MB = MC mà M thuộc BC

⇒ M là trung điểm của BC

Bài 5 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm M và N nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng EF. Chứng minh rằng ∆EMN = ∆FMN.

Lời giải tham khảo:

M, N thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng EF

⇒ ME = MF, NE= NF

Xét ∆EMN và ∆FMN ta có:

• ME = MF
• NE = NF
• MN chung 

⇒ ∆EMN = ∆FMN (c.c.c)

Bài 6 trang 70 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có một con đường d và hai điểm dân cư A và B ( Hình 14 ). Hãy tìm bên đường một địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư.

Lời giải tham khảo:

Gọi N là trung điểm của AB, qua N kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AB, cắt đường thẳng d tại 1 điểm M.

⇒ M thuộc đường trung trực của AB

⇒ MA = MB

Vậy vị trí điểm M là nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.