Ibaitap.com sẽ hướng dẫn trả lời chi tiết cho các câu hỏi Toán lớp 7 của bộ sách Chân trời sáng tạo và cuộc sống thuộc [Bài 5 Đường trung trực của một đoạn thẳng trong CHƯƠNG VIII: TAM GIÁC thuộc PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG - HÌNH HỌC PHẲNG của sách Toán 7 tập 2 bộ Chân trời sáng tạo]. Nội dung chi tiết bài giải mời bạn đọc tham khảo dưới đây:
MỤC LỤC
1. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Hoạt động khám phá 1: Lấy một mảnh giấy như trong hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B ( hình 1b). Theo em nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm hay không?Tại sao ?
Lời giải tham khảo:
Nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm O.
Thực hành 1: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N, P và trên cạnh DC lấy các điểm M', N', P'. Cho biết AM = MN = NP= PB và MM', NN', PP' đều song song với BC ( Hình 3). Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AB, AN và NB
Lời giải tham khảo:
Ta có:
BC ⊥ AB
MM' // BC
⇒ MM' ⊥ AB
⇒ MM' ⊥ AN
Tương tự ta có: NN' ⊥ AB , PP' ⊥ NB
AM = MN⇒ M là trung điểm của AN mà M'M ⊥ AN
⇒ MM' là đường trung trực của AN
NP = PB ⇒ P là trung điểm của NB mà PP' ⊥ NB
⇒ PP' là đường trung trực của NB
AM = MN = NP= PB
⇒ AN= NB
⇒ N là trung điểm của AB
NN' ⊥ AB. N là trung điểm của AB
⇒ NN' là đường trung trực của AB.
Vận dụng 1: Trong hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không? Tại sao?
Lời giải tham khảo:
Xét ∆APD và ∆CPD có :
AD = CD
DP chung
$\widehat{ADP}$ = $\widehat{CDP}$
⇒ ∆APD = ∆CPD (g.c.g)
⇒ $\widehat{APD}$ = $\widehat{CPD}$ mà $\widehat{APD}$ + $\widehat{CPD}$ = 180°
⇒ 2 $\widehat{APD}$ = 180°
⇒ $\widehat{APD}$ = 90°
⇒ DP ⊥ AP
⇒ DP ⊥ AC mà P là trung điểm của AC
⇒ DP là đường trung trực của AC,
⇒ DB là đường trung trực của AC.
2. Tính chất của đường trung trực
Hoạt động khám phá 2: Cho đoạn thẳng AB lấy O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy M tùy ý thuộc d ( Hình 5). Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.
Lời giải tham khảo:
d là đường trung trực của AB tại điểm O
⇒ ∆MOA và ∆MOB là hai tam giác vuông tại O.
Xét ∆MOA và ∆MOB cùng vuông tại đỉnh O ta có:
MO chung
AO = OB ( O là trung điểm của AB)
⇒ ∆MOA = ∆MOB (hai cạnh góc vuông)
⇒ MA = MB.
Thực hành 2: Trong hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.
Lời giải tham khảo:
M thuộc đường thẳng d mà d là đường trung trực của AB
⇒ MA = MB
⇒ x + 2 = 7
⇔ x = 7 - 2 = 5.
Vậy x = 5.
Vận dụng 2: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau
Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}$ AB ( Hình 9a).
Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính trên ( Hình 9b).
Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N ( Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.
Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Lời giải tham khảo:
Ta có M thuộc 2 đường tròn tâm A và B mà bán kính đường tròn tâm A bằng với bán kính đường tròn tâm B
⇒ MA = MB
⇒ M cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng B
⇒ M thuộc đường trung trực của AB
Tương tự ta có NA = NB
⇒ N cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB
⇒ N thuộc đường trung trực của AB
⇒ MN là đường trung trực của AB.
3. BÀI TẬP
Bài 1 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Hình 10 minh họa một tờ giấy có hình vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB mà hình ảnh điểm B bị nhòe mất. Hãy nêu cách xác định điểm B
Lời giải tham khảo:
Gọi O là giao điểm của đường trung trực xy với đoạn thẳng AB
⇒ O là trung điểm của AB
Lấy điểm B thuộc đường thẳng OA sao cho O là trung điểm AB.
⇒ Ta được điểm B
Bài 2 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 11, cho biết M là trung điểm BC, AM vuông góc với BC và AB = 10 cm. Tính AC.
Lời giải tham khảo:
Ta có:
M là trung điểm của BC
AM ⊥ BC
⇒ AM là đường trung trực của BC
⇒ AB = AC
⇒ AC =10 cm.
Bài 3 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 12, cho biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC = 8 cm. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, D thẳng hàng.
Lời giải tham khảo:
AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC
⇒ AB = AC, MB = MC
Ta có DB = DC = 8 cm
⇒ D cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng AB
⇒ D thuộc đường trung trực của AB
⇒ A, M, D cùng thuộc đường trung trực của AB
⇒ A, M, D thẳng hàng.
Bài 4 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 13, biết AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC
Lời giải tham khảo:
AB = AC
⇒ A thuộc đường trung trực của BC
DB= DC
⇒ D thuộc đường trung trực của BC
⇒ AD là đường trung trực của BC mà AD cắt BC tại M
⇒ M cũng thuộc đường trung trực AD
⇒ MB = MC mà M thuộc BC
⇒ M là trung điểm của BC
Bài 5 trang 70 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm M và N nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng EF. Chứng minh rằng ∆EMN = ∆FMN.
Lời giải tham khảo:
M, N thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng EF
⇒ ME = MF, NE= NF
Xét ∆EMN và ∆FMN ta có:
ME = MF
NE = NF
MN chung
⇒ ∆EMN = ∆FMN (c.c.c)
Bài 6 trang 70 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có một con đường d và hai điểm dân cư A và B ( Hình 14 ). Hãy tìm bên đường một địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư.
Lời giải tham khảo:
Gọi N là trung điểm của AB, qua N kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AB, cắt đường thẳng d tại 1 điểm M.
⇒ M thuộc đường trung trực của AB
⇒ MA = MB
Vậy vị trí điểm M là nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.