KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thức đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép chia một đa thức (một biến) cho một đa thức (một biến) khác, chẳng hạn ta cần thực hiện phép chia sau: (x³ +1):(x² -x+1) Làm thế nào để thực hiện được phép chia hai đa thức một biến?

Lời giải tham khảo:

Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến (B ≠ 0) , trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên, trong đó R=0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B còn nếu R=0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

I. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Hoạt động 1: Thực hiện phép tính

a) x⁵ :x³ 

b) (4x³):x² 

c) $(ax^{m}):(bx^{n})$ (a≠0, b≠0; m,nϵN, m≥n)

Lời giải tham khảo:

a) x⁵  : x³ 

 = $x^{5-3}$

 = x² 

b) (4x³) : x² 

 = 4 . $x^{3-2}$

 = 4x

c) $(ax^{m}):(bx^{n})$

= $\frac{a}{b} . x^{m-n}$

Luyện tập 1: Tính

a) (3x⁶ ) : (0,5x⁴ )

b) $(-12x^{m+2}) : 4x^{n+2})$ (m, n ϵN; m≥n)

Lời giải tham khảo:

a) (3x⁶ ) : (0,5x⁴)

= (3 : 0.5) . ($x^{6-4}$)

= 6x² 

b) $(-12x^{m+2}) : 4x^{n+2})$

= (-12 : 4) . ($x^{m+2-n+2}$)

= $-3x^{m-n}$

II. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Hoạt động 2: Tính: ($\frac{1}{2}$x⁴ -$\frac{1}{4}$x³ +x) : ($-\frac{1}{8}$x)

Lời giải tham khảo:

($\frac{1}{2}$x⁴ -$\frac{1}{4}$x³ +x) : ($-\frac{1}{8}$x)

 = -4x³ +2x-8

Hoạt động 3: Cho đa thức P(x) = 4x²  + 3x và đơn thức Q(x) = 2x

a) Hãy chia từng đơn thức của biến x có trong đa thức P(x) cho đơn thức Q(x)

b) Hãy cộng các thương vừa tìm được

Lời giải tham khảo:

(4x²  + 3x) : (2x)

 = (4x² ) : (2x) + (3x) : (2x)

 = 2x + $\frac{3}{2}$

Luyện tập 2: Tính: ($\frac{1}{2}$x⁴  - $\frac{1}{4}x³  + x) : ($\frac{-1}{8}$x)

Lời giải tham khảo:

($\frac{1}{2}$x⁴  - $\frac{1}{4}$x³  + x) : ($\frac{-1}{8}$x)

 = ($\frac{1}{2}$x⁴  : $\frac{-1}{8}$x) - $\frac{1}{4}$x³  : ($\frac{-1}{8}$x) + (x : $\frac{-1}{8}$x)

 = -4x³  + 2x²  - 8

III. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

Hoạt động 4: Thực hiện phép chia:

a) (2x²  + 5x + 2) : (2x + 1)

b) (3x³  - 5x²  + 2) : (x²  + 1)

Lời giải tham khảo:

a) 

(2x²  + 5x + 2) : (2x + 1) = x + 2

b)

(3x³  - 5x²  + 2) : (x²  + 1) = 3x -5 dư -3x + 7

Luyện tập 3: Tính

a) (x³  + 1) : (x²  + x +1)

b) (8x³  - 6x²  + 5) : (x²  + x + 1)

Lời giải tham khảo:

a) 

(x³  + 1) : (x²  + x +1) = x + 1

b) 

(8x³  - 6x²  + 5) : (x²  + x + 1) = 8x + 14 dư 6x + 19

IV. BÀI TẬP

Bài 1 trang 67 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Tính (Từ Bài 1 đến Bài 4)

a. (4x³ ) : (-2x² )

b. (-7x² ) : (6x)

c. (-14x² ) : (-8x³ )

Lời giải tham khảo:

a. (4x³):(−2x²) 

= (4:(−2)).$x^{3−2}$

= −2x

b. (−7x²):(6x) 

= ((−7):6).$x^{2−1}$ 

= $\frac{-7}{6}$x

c. (−14x⁴):(−8x³) 

= ((−14):4).$x^{4−3}$

=  $\frac{-7}{2}$x

Bài 2 trang 67 toán 7 tập 2 Cánh Diều

a. (8x² +2x² -6x):(4x)

b. (5x³ -4x):(-2x)

c. (-15x⁶ -24x³ ) : (-3x² )

Lời giải tham khảo:

a) (8x³ + 2x² - 6x) : (4x)

= (8x³ : 4x) + (2x² : 4x) - (6x : 4x)

=  2x² + 12x − $\frac{3}{2}$

b) (5x³ - 4x) : (-2x)

= [5x³ : (-2x)] - [4x : (-2x)]

= \frac{-5}{2}$x² + 2

c) (-15x⁶ - 24x³) : (-3x²)

= [(-15x⁶) : (-3x²)] - [24x³ : (-3x²)]

= [(-15) : (-3)].$x^{6−2}$ – [24 : (-3)].$x^{3−2}$

= 5x⁴ - (-8).x

= 5x⁴ + 8x.

Vậy (-15x⁶ - 24x³) : (-3x²) = 5x⁴ + 8x.

Bài 3 trang 67 toán 7 tập 2 Cánh Diều

a. (x²  - 2x + 1) : (x - 1)

b. (x³  + 2x²  + x) : (x²  + x)

c. (-16x⁴ + 1) : (-4x²  + 1)

d. (-32x⁵  + 1) : (-2x + 1)

Lời giải tham khảo:

a) Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Vậy (x² - 2x + 1) : (x - 1) = x - 1.

b) Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Vậy (x³ + 2x² + x) : (x² + x) = x + 1.

c) Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Vậy (-16x⁴ + 1) : (-4x² + 1) = 4x² + 1.

d) Thực hiện phép tính ta được:

Vậy (-32x⁵ + 1) : (-2x + 1) = 16x⁴ + 8x³ + 4x² + 2x + 1.

Bài 4 trang 67 toán 7 tập 2 Cánh Diều

a. (6x² -2x+1) : (3x-1)

b. (27x³ +x² -x+1) : (-2x+1)

Lời giải tham khảo:

a) 

Vậy (6x² - 2x + 1) : (3x - 1) = 2x (dư 1).

b) 

c) 

Vậy (8x³ + 2x² + x) : (2x³ + x + 1) = 4 (dư 2x² -3x - 4).

d) 

Bài 5 trang 67 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Một công ty sau khi tăng giá 30 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 2x(nghìn đồng) thì có doanh thu là 6x² +170x+1200 (nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x.

Lời giải tham khảo:

Giá sản phẩm ban đầu là 2x (nghìn đồng), sau khi tăng giá 30 nghìn đồng thì giá sản phẩm lúc này là 2x + 30 (nghìn đồng).

Doanh thu là 6x² + 170x + 1 200 (nghìn đồng)

=> Số sản phẩm mà công ty đó bán được là: 

(6x² + 170x + 1 200) : (2x + 30)

Thực hiện phép chia đa thức ta được:

=> (6x² + 170x + 1 200) : (2x + 30) = 3x + 40.

Bài 6 trang 67 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Một hình hộp chữ nhật có thể tích là x³ +6x² +11x+6 (cm³). Biết đáy là hình chữ nhật có các kích thước là x+1 (cm) và x+2 (cm). Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật đó theo x.

Lời giải tham khảo:

Đáy của hình hộp chữ nhật là hình chữ nhật có các kích thước là x + 1 (cm) và x + 2 (cm)

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

(x + 1).(x + 2) 

= x.x + x.2 + 1.x + 1.2 

= x² + 2x + x + 2 

= x² + 3x + 2 (cm²).

Hình hộp chữ nhật có thể tích là x³ + 6x² + 11x + 6 (cm³)

=> Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: (x³ + 6x² + 11x + 6) : (x² + 3x + 2)

Thực hiện phép chia đa thức ta được:

=> (x³ + 6x² + 11x + 6) : (x² + 3x + 2) = x + 3.

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là x + 3 cm.