Khử mẫu của biểu thức lấy căn ( các bài 48 và 49)
Gợi ý:
Đối với bài này ta sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn cho 2 số a, b ( a.b ≥ 0 và a # 0):
\(\sqrt{\frac{a}{b}}\) = \(\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\)
1. BÀI TẬP 48 TRANG 29 SGK TOÁN 9 TẬP 1:
\(\sqrt{\frac{1}{600}}\) ; \(\sqrt{\frac{11}{540}}\) ; \(\sqrt{\frac{3}{50}}\)
\(\sqrt{\frac{5}{98}}\) ; \(\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^2}{27}}\)
Giải:
- \(\sqrt{\frac{1}{600}}\) = \(\frac{\sqrt{1.600}}{|600|}\)
= \(\frac{\sqrt{600}}{600}\) = \(\frac{\sqrt{6.100}}{600}\)
= \(\frac{\sqrt{6}.\sqrt{100}}{600}\) = \(\frac{\sqrt{6}.10}{600}\)
= \(\frac{\sqrt{6}}{60}\)
- \(\sqrt{\frac{11}{540}}\) = \(\frac{\sqrt{11.540}}{|540|}\)
= \(\frac{\sqrt{11.540}}{540}\) = \(\frac{\sqrt{11.36.15}}{540}\)
= \(\frac{\sqrt{11.15}.\sqrt{36}}{540}\)
= \(\frac{\sqrt{165}.6}{540}\) = \(\frac{\sqrt{165}}{90}\)
- \(\sqrt{\frac{3}{50}}\) = \(\frac{\sqrt{3.50}}{|50|}\)
= \(\frac{\sqrt{3.50}}{50}\) = \(\frac{\sqrt{3.2.25}}{50}\)
= \(\frac{\sqrt{3.2}.\sqrt{25}}{50}\)
= \(\frac{\sqrt{6}.\sqrt{25}}{50}\) = \(\frac{\sqrt{6}.5}{50}\)
= \(\frac{\sqrt{6}}{10}\)
- \(\sqrt{\frac{5}{98}}\) = \(\frac{\sqrt{5.98}}{|98|}\)
= \(\frac{\sqrt{5.98}}{98}\) = \(\frac{\sqrt{5.2.49}}{98}\)
= \(\frac{\sqrt{5.2}.\sqrt{49}}{98}\)
= \(\frac{\sqrt{10}.\sqrt{49}}{98}\) = \(\frac{\sqrt{10}.7}{98}\)
= \(\frac{\sqrt{10}}{14}\)
- \(\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^2}{27}}\) = \(\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^2}{27}}\)
= \(\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2.27}}{|27|}\)
= \(\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2.27}}{27}\)
= \(\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}.\sqrt{27}}{27}\)
= \(\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}.\sqrt{3.9}}{27}\)
= \(\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}.\sqrt{3.9}}{27}\)
= \(\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}.\sqrt{3}.\sqrt{9}}{27}\)
= \(\frac{|1-\sqrt{3}|.\sqrt{3}.3}{27}\)
= \(\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}.3}{27}\)
= \(\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}}{9}\)
2. BÀI TẬP 49 TRANG 29 SGK TOÁN 9 TẬP 1:
ab\(\sqrt{\frac{a}{b}}\) ; \(\frac{a}{b}\)\(\sqrt{\frac{b}{a}}\)
\(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^2}}\) ; \(\sqrt{\frac{9a^3}{36b}}\)
3xy\(\sqrt{\frac{2}{xy}}\)
( Gỉa thiết các biểu thức có nghĩa)
Giải:
- ab\(\sqrt{\frac{a}{b}}\) = ab\(\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\)
+) Nếu b > 0, a > 0 thì |b|=b
⇒ ab\(\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\) = ab\(\frac{\sqrt{ab}}{b}\)
= a\(\sqrt{ab}\)
+) Nếu b < 0, a < 0 thì |b| = - b
⇒ ab\(\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\) = ab\(\frac{\sqrt{ab}}{-b}\)
= - a\(\sqrt{ab}\)
- \(\frac{a}{b}\)\(\sqrt{\frac{b}{a}}\)
= \(\frac{a}{b}\).\(\frac{\sqrt{ba}}{|a|}\)
+) Nếu a > 0, b > 0 thì |a|=a
⇒ \(\frac{a}{b}\).\(\frac{\sqrt{ba}}{|a|}\)
= \(\frac{a}{b}\).\(\frac{\sqrt{ba}}{a}\)
=\(\frac{\sqrt{ab}}{b}\)
+) Nếu a < 0, b < 0 thì |a|= -a
⇒ \(\frac{a}{b}\).\(\frac{\sqrt{ba}}{|a|}\)
= \(\frac{a}{b}\).\(\frac{\sqrt{ba}}{-a}\)
= - \(\frac{\sqrt{ab}}{b}\)
- \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{1+b}{b^2}}\) = \(\frac{\sqrt{1+b}}{\sqrt{b^2}}\)
= \(\frac{\sqrt{1+b}}{|b|}\)
+) Nếu b > 0 thì |b| = b ⇒ \(\frac{\sqrt{1+b}}{|b|}\) = \(\frac{\sqrt{1+b}}{b}\)
+) Nếu b < 0 thì |b| = -b
⇒ \(\frac{\sqrt{1+b}}{|b|}\) = -\(\frac{\sqrt{1+b}}{b}\)
- \(\sqrt{\frac{9a^3}{36b}}\) = \(\sqrt{\frac{a^3}{4b}}\)
= \(\sqrt{\frac{1}{4}}\).\(\sqrt{\frac{a^2.a}{b}}\)
= \(\frac{1}{2}\).\(\frac{\sqrt{a^2.ab}}{|b|}\)
= \(\frac{1}{2}\).\(\frac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{|b|}\)
= \(\frac{1}{2}\).\(\frac{|a|.\sqrt{ab}}{|b|}\)
+) Nếu b > 0, a > 0 thì |a| = a, |b| = b
⇒ \(\frac{1}{2}\).\(\frac{|a|.\sqrt{ab}}{|b|}\) = \(\frac{a.\sqrt{ab}}{2b}\)
+) Nếu b < 0, a < 0 thì |a| = -a, |b| = - b
⇒ \(\frac{1}{2}\).\(\frac{|a|.\sqrt{ab}}{|b|}\)
= \(\frac{-a.\sqrt{ab}}{2(-b)}\) = \(\frac{a.\sqrt{ab}}{2b}\)
- 3xy\(\sqrt{\frac{2}{xy}}\) = 3xy\(\frac{\sqrt{2xy}}{|xy|}\)
= 3xy\(\frac{\sqrt{2xy}}{xy}\) = 3\(\sqrt{2xy}\)
3. BÀI TẬP 50 TRANG 30 SGK TOÁN 9 TẬP 1:
\(\frac{5}{\sqrt{10}}\) ; \(\frac{5}{2\sqrt{5}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{20}}\) ; \(\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}\)
\(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}\)
Gợi ý:
Đối với bài toán này, ta sử dụng phép trục căn thức cho 2 biểu thức A, B (B > 0 ), ta có:
\(\frac{A}{\sqrt{B}}\) = \(\frac{A\sqrt{B}}{B}\)
Giải:
- \(\frac{5}{\sqrt{10}}\) = \(\frac{5\sqrt{10}}{10}\)
= \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)
- \(\frac{5}{2\sqrt{5}}\) = \(\frac{5\sqrt{5}}{2.5}\)
= \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
- \(\frac{1}{3\sqrt{20}}\) = \(\frac{1\sqrt{20}}{3.20}\)
= \(\frac{\sqrt{20}}{60}\)
- \(\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}\)
cách 1: Sử dụng phép trục căn thức
\(\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}\)
= \(\frac{(2\sqrt{2}+2)\sqrt{2}}{5.2}\)
= \(\frac{2(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{5.2}\)
= \(\frac{2+\sqrt{2}}{5}\)
cách 2: đặt nhân tử chung và rút gọn
\(\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}\) = \(\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}\)
= \(\frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}\)
= \(\frac{2+\sqrt{2}}{5}\)
- \(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}\)
cách 1: Sử dụng phép trục căn thức
\(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}\)
= \(\frac{(y+b\sqrt{y})\sqrt{y}}{b.y}\)
= \(\frac{y\sqrt{y}+by}{b.y}\)
= \(\frac{y(\sqrt{y}+b)}{b.y}\)
= \(\frac{\sqrt{y}+b}{b}\)
cách 2: đặt nhân tử chung và rút gọn
\(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}\)
= \(\frac{\sqrt{y}(\sqrt{y}+b)}{b\sqrt{y}}\)
= \(\frac{\sqrt{y}+b}{b}\)
4. BÀI TẬP 51 TRANG 30 SGK TOÁN 9 TẬP 1:
\(\frac{3}{\sqrt{3}+1}\) ; \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}\)
\(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
\(\frac{b}{3+\sqrt{b}}\) ; \(\frac{p}{2\sqrt{p}-1}\)
Gợi ý:
Đối với bài toán này, ta sử dụng phép trục căn thức cho 2 biểu thức A, B, C (A ≥ 0 và A # \(B^2\)), ta có:
\(\frac{C}{\sqrt{A}±B}\) = \(\frac{C(\sqrt{A}± B)}{A-B^2}\)
Giải:
= \(\frac{3.(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1).(\sqrt{3}-1)}\)
= \(\frac{3(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}\)
= \(\frac{3(\sqrt{3} - 1)}{3-1^2}\)
= \(\frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2}\) = \(\frac{3\sqrt{3} - 3}{2}\)
- \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}\) =\(\frac{2.(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1).(\sqrt{3}+1)}\)
= \(\frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}\)
= \(\frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3-1^2}\)
= \(\frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2}\) = \(\sqrt{3} +1\)
- \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
= \(\frac{(2+\sqrt{3}).(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3}).(2+\sqrt{3})}\)
= \(\frac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2-(\sqrt{3})^2}\)
= \(\frac{2^2+2.2.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2^2-(\sqrt{3})^2}\)
= \(\frac{4+4.\sqrt{3}+3}{4-3}\)
= \(\frac{7+4.\sqrt{3}}{1}\) = 7+4.\(\sqrt{3}\)
= \(\frac{b.(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b}).(3-\sqrt{b})}\)
= \(\frac{b.(3-\sqrt{b})}{b^2-(\sqrt{3})^2}\)
= \(\frac{b(3-\sqrt{b} )}{b^2-3}\)
- \(\frac{p}{2\sqrt{p}-1}\)
= \(\frac{p.(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1).(2\sqrt{p}+1)}\)
= \(\frac{p(2\sqrt{p} + 1)}{(2\sqrt{p})^2-1^2}\)
= \(\frac{p(2\sqrt{p} + 1)}{4p-1}\)
5. BÀI TẬP 52 TRANG 30 SGK TOÁN 9 TẬP 1:
\(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\) ; \(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\) ; \(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
Gợi ý:
Đối với bài toán này, ta sử dụng phép trục căn thức cho 2 biểu thức A, B, C (A ≥ 0, B ≥ 0 và A # \(B^2\)), ta có:
\(\frac{C}{\sqrt{A}±\sqrt{A}}\)
= \(\frac{C(\sqrt{A}± \sqrt{A})}{A-B}\)
Giải:
- \(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\)
= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5}).(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}\)
= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}\)
= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{6-5}\)
= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{1}\)
= 2(\(\sqrt{6}+ \sqrt{5})\)
- \(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}\)
= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7}).(\sqrt{10}+ \sqrt{7})}\)
= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2}\)
= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{10-7}\)
= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{3}\)
= \(\sqrt{10}- \sqrt{7}\)
- \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
= \(\frac{1.(\sqrt{x}+ \sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y}).(\sqrt{x}+ \sqrt{y})}\)
= \(\frac{\sqrt{x}+ \sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}\)
= \(\frac{\sqrt{x}+ \sqrt{y}}{x-y}\)
- \(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
= \(\frac{2ab.(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b}).(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}\)
= \(\frac{2ab.(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}\)
= \(\frac{2ab.(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{a-b}\)
