1. Đường trung tuyến của tam giác

Hoạt động khám phá 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.

Lời giải tham khảo:

Thực hành 1: Vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (hình 1).

Lời giải tham khảo:

Vận dụng 1: 

a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).

b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP ( Hình 3).

c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.

Lời giải tham khảo:

a) 

b)

c) 

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Hoạt động khám phá 2:

a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện ( Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại. Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không 

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF  của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt  nhau tại G . Tia AG cắt BC tại D. Em hãy quan sát và cho biết

• AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không
• Các tỉ số $\frac{BG}{BE}$ , $\frac{CG}{CF}$ , $\frac{AG}{AD}$ bằng bao nhiêu ?

Lời giải tham khảo:

a) 

Ta thấy: cả 3 đường trung tuyến đều cùng đi qua một điểm.

b)

AD chính là đường trung tuyến của tam giác ABC

$\frac{BG}{BE}$ = $\frac{CG}{CF}$ = $\frac{AG}{AD}$ = $\frac{2}{3}$

Thực hành 2: Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF và đường trung tuyến AM. Hãy tính các tỉ số:

a) $\frac{GM}{AM}$        b) $\frac{GM}{AG}$            c) $\frac{AG}{GM}$

Lời giải tham khảo:

G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC

⇒ $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{2}{3}$

⇒ AG = $\frac{2}{3}$ AM

a) Ta có : AG + GM = AM

⇒ $\frac{2}{3}$ AM + GM = AM

⇒ GM = $\frac{1}{3}$ AM

⇒ $\frac{GM}{AM}$  = $\frac{1}{3}$

b) Ta có : AG + GM = AM

⇒ AG + GM = 3GM

⇒ AG = 2 GM

⇒ $\frac{GM}{AG}$  = $\frac{1}{2}$

c) $\frac{GM}{AG}$  = $\frac{1}{2}$

⇒ $\frac{AG}{GM}$  = 2

Vận dụng 2: Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Lời giải tham khảo:

Vì I là trọng tâm của tam giác ABC, AO là đường trung tuyến của tam giác ABC

⇒ $\frac{IO}{OA}$  = $\frac{1}{2}$, $\frac{AI}{OA}$ = $\frac{2}{3}$.

Vì J là trọng tâm của tam giác DBC, DO là đường trung tuyến của DBC

⇒ $\frac{JO}{OD}$  = $\frac{1}{2}$ , $\frac{JD}{OD}$ = $\frac{2}{3}$.

Có OA = OD

⇒ AI = JD, IO = JO

⇒ O là trung điểm của IJ

Ta có : OA = AI + OI

⇒ OA = AI + $\frac{1}{2}$ IJ 

⇒ OA = $\frac{2}{3}$ OA + $\frac{1}{2}$ IJ 

⇒ $\frac{1}{3}$ OA = $\frac{1}{2}$ IJ 

⇒ IJ = $\frac{2}{3}$ OA

⇒ AI = IJ = JD.

3. BÀI TẬP 

Bài 1 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát Hình 8. Thay ? bằng số thích hợp

EG = ..?... EM , GM = ..?.. EM,  GM = ..?.. EG,  FG = ..?.. GN,  FN = ..?.. GN,  FN = ..?.. FG

Lời giải tham khảo:

EG = $\frac{2}{3}$ EM

GM = $\frac{1}{3}$ EM

GM = $\frac{1}{2}$ GE

FG = 2GN

FN = 3GN

FN =  $\frac{2}{3}$ FG

Bài 2 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 9

a) Biết AM = 15 cm, tính AG

b) Biết GN = 6 cm, tính CN

Lời giải tham khảo:

Trong tam giác ABC có AM, NC là hai đường trung tuyến, G là giao điểm của AM, NC

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC

a) AG = $\frac{2}{3}$ AM

⇒ AG = $\frac{2}{3}$. 15

⇒ AG = 10

b) GN = $\frac{1}{3}$.CN

⇒ 6 = $\frac{1}{3}$.CN

⇒ CN = 6. 3 = 18

Bài 3 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2 FI.

Lời giải tham khảo:

a) Xét  ∆BMG và  ∆CME ta có:

• BM = CM (M là trung điểm của BC)
• $\widehat{BMG}$  = $\widehat{CME}$ (hai góc đối đỉnh)
• ME = MG (giả thiết)

⇒ ∆BMG = ∆CME (c.g.c)

⇒ $\widehat{GBM}$  = $\widehat{BCE}$; mà hai góc ở vị trị so le trong

⇒ GB // CE.

b) Xét tam giác ABC có AM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ AG = 2GM

Ta có: GE = GM + EM

⇒ GE = 2GM (GM = EM)

⇒ AG = GE

⇒ G là trung điểm đoạn thẳng AE

⇒ BG là đường trung tuyến của tam giác ABM.

Xét tam giác ABM có: AI và BG là 2 đường trung tuyến mà AI cắt BG tại F

⇒ F là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ AF = 2FI.

Bài 4 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm BC.

Lời giải tham khảo:

a) ∆ABC cân tại A 

⇒ AB = AC  

N là trung điểm của AB ⇒ AN = NB = $\frac{1}{2}$.AB

M là trung điểm của AC ⇒ AM = MC = $\frac{1}{2}$.AC

⇒ AN = AM

Xét ∆ANC và ∆AMB ta có:

• AB = AC
• $\widehat{BAC}$ chung
• AN = AM 

⇒  ∆ANC = ∆AMB (c.g.c)

⇒ NC = MB 

b) 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I

⇒ I là trọng tâm của ∆ABC

⇒ IB = $\frac{2}{3}$BM,  IC = $\frac{1}{2}$CN mà BM = CN

⇒ IB = IC

Xét ∆ACI và ∆ABI có : 

• AB = AC
• AI chung
• IB = IC

⇒ ∆ACI = ∆ABI (c.c.c)

⇒ $\widehat{BAI}$ = $\widehat{CAI}$ 

Xét ∆ABH và ∆ACH có : 

• AB = AC
• $\widehat{BAH}$ = $\widehat{CAH}$
•  AH chung

⇒ ∆ABH = ∆ACH (c.g.c).

⇒ BH = CH

⇒ H là trung điểm của BC.

Bài 5 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Lời giải tham khảo:

Gọi O là giao điểm của BM và CN

⇒ O là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ CO =$\frac{2}{3}$.CN, BO = $\frac{2}{3}$.BM mà BM = CN

⇒ CO = BO

⇒ ∆OBC cân tại O

⇒ $\widehat{OBC}$ = $\widehat{OCB}$ 

⇒ $\widehat{MBC}$ = $\widehat{NCB}$ 

Xét  ∆NBC và  ∆MBC ta có:

• CN = BM
• $\widehat{MBC}$ = $\widehat{NCB}$ 
• BC chung 

⇒ ∆NBC =  ∆MBC ( c.g.c )

⇒ $\widehat{MCB}$ = $\widehat{NBC}$ 

⇒ $\widehat{ACB}$ = $\widehat{ABC}$ 

⇒ ∆ABC cân tại A.

Bài 6 trang 76 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F ( Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF

Lời giải tham khảo:

∆ABC cân tại A

⇒ AB = AC

D là trung điểm của AB ⇒ AD = $\frac{1}{2}$. AB

E là trung điểm của AC ⇒ AE = $\frac{1}{2}$.AC

⇒ AD = AE

Xét ∆ABE và ∆ACD có : 

• AB = AC 
• $\widehat{A}$ chung 
• AE = AD

⇒ ∆ABE = ∆ACD ( c.g.c)

⇒ BE = CD = 9 cm

Xét  ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại F

⇒ F là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ DF = $\frac{1}{3}$.DC

⇒ DF =  $\frac{1}{3}$.9 = 3 cm