Ibaitap.com sẽ hướng dẫn trả lời chi tiết cho các câu hỏi Toán lớp 7 của bộ sách Chân trời sáng tạo và cuộc sống thuộc [Bài 7 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trong CHƯƠNG VIII: TAM GIÁC thuộc PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG - HÌNH HỌC PHẲNG của sách Toán 7 tập 2 bộ Chân trời sáng tạo]. Nội dung chi tiết bài giải mời bạn đọc tham khảo dưới đây:
MỤC LỤC
1. Đường trung tuyến của tam giác
Hoạt động khám phá 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.
Lời giải tham khảo:
Thực hành 1: Vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (hình 1).
Lời giải tham khảo:
Vận dụng 1:
a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).
b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP ( Hình 3).
c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.
Lời giải tham khảo:
a)
b)
c)
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Hoạt động khám phá 2:
a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện ( Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại. Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không
b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G . Tia AG cắt BC tại D. Em hãy quan sát và cho biết
AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không
Các tỉ số $\frac{BG}{BE}$ , $\frac{CG}{CF}$ , $\frac{AG}{AD}$ bằng bao nhiêu ?
Lời giải tham khảo:
a)
Ta thấy: cả 3 đường trung tuyến đều cùng đi qua một điểm.
Thực hành 2: Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF và đường trung tuyến AM. Hãy tính các tỉ số:
a) $\frac{GM}{AM}$ b) $\frac{GM}{AG}$ c) $\frac{AG}{GM}$
Lời giải tham khảo:
G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC
⇒ $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{2}{3}$
⇒ AG = $\frac{2}{3}$ AM
a) Ta có : AG + GM = AM
⇒ $\frac{2}{3}$ AM + GM = AM
⇒ GM = $\frac{1}{3}$ AM
⇒ $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{1}{3}$
b) Ta có : AG + GM = AM
⇒ AG + GM = 3GM
⇒ AG = 2 GM
⇒ $\frac{GM}{AG}$ = $\frac{1}{2}$
c) $\frac{GM}{AG}$ = $\frac{1}{2}$
⇒ $\frac{AG}{GM}$ = 2
Vận dụng 2: Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.
Lời giải tham khảo:
Vì I là trọng tâm của tam giác ABC, AO là đường trung tuyến của tam giác ABC
Bài 2 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Quan sát hình 9
a) Biết AM = 15 cm, tính AG
b) Biết GN = 6 cm, tính CN
Lời giải tham khảo:
Trong tam giác ABC có AM, NC là hai đường trung tuyến, G là giao điểm của AM, NC
⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC
a) AG = $\frac{2}{3}$ AM
⇒ AG = $\frac{2}{3}$. 15
⇒ AG = 10
b) GN = $\frac{1}{3}$.CN
⇒ 6 = $\frac{1}{3}$.CN
⇒ CN = 6. 3 = 18
Bài 3 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.
a) Chứng minh rằng BG song song với EC.
b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2 FI.
Lời giải tham khảo:
a) Xét ∆BMG và ∆CME ta có:
BM = CM (M là trung điểm của BC)
$\widehat{BMG}$ = $\widehat{CME}$ (hai góc đối đỉnh)
ME = MG (giả thiết)
⇒ ∆BMG = ∆CME (c.g.c)
⇒ $\widehat{GBM}$ = $\widehat{BCE}$; mà hai góc ở vị trị so le trong
⇒ GB // CE.
b) Xét tam giác ABC có AM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G
⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ AG = 2GM
Ta có: GE = GM + EM
⇒ GE = 2GM (GM = EM)
⇒ AG = GE
⇒ G là trung điểm đoạn thẳng AE
⇒ BG là đường trung tuyến của tam giác ABM.
Xét tam giác ABM có: AI và BG là 2 đường trung tuyến mà AI cắt BG tại F
⇒ F là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ AF = 2FI.
Bài 4 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.
a) Chứng minh rằng BM = CN.
b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm BC.
Lời giải tham khảo:
a) ∆ABC cân tại A
⇒ AB = AC
N là trung điểm của AB ⇒ AN = NB = $\frac{1}{2}$.AB
M là trung điểm của AC ⇒ AM = MC = $\frac{1}{2}$.AC
⇒ AN = AM
Xét ∆ANC và ∆AMB ta có:
AB = AC
$\widehat{BAC}$ chung
AN = AM
⇒ ∆ANC = ∆AMB (c.g.c)
⇒ NC = MB
b) 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I
⇒ I là trọng tâm của ∆ABC
⇒ IB = $\frac{2}{3}$BM, IC = $\frac{1}{2}$CN mà BM = CN
⇒ IB = IC
Xét ∆ACI và ∆ABI có :
AB = AC
AI chung
IB = IC
⇒ ∆ACI = ∆ABI (c.c.c)
⇒ $\widehat{BAI}$ = $\widehat{CAI}$
Xét ∆ABH và ∆ACH có :
AB = AC
$\widehat{BAH}$ = $\widehat{CAH}$
AH chung
⇒ ∆ABH = ∆ACH (c.g.c).
⇒ BH = CH
⇒ H là trung điểm của BC.
Bài 5 trang 75 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Lời giải tham khảo:
Gọi O là giao điểm của BM và CN
⇒ O là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ CO =$\frac{2}{3}$.CN, BO = $\frac{2}{3}$.BM mà BM = CN
⇒ CO = BO
⇒ ∆OBC cân tại O
⇒ $\widehat{OBC}$ = $\widehat{OCB}$
⇒ $\widehat{MBC}$ = $\widehat{NCB}$
Xét ∆NBC và ∆MBC ta có:
CN = BM
$\widehat{MBC}$ = $\widehat{NCB}$
BC chung
⇒ ∆NBC = ∆MBC ( c.g.c )
⇒ $\widehat{MCB}$ = $\widehat{NBC}$
⇒ $\widehat{ACB}$ = $\widehat{ABC}$
⇒ ∆ABC cân tại A.
Bài 6 trang 76 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F ( Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF
Lời giải tham khảo:
∆ABC cân tại A
⇒ AB = AC
D là trung điểm của AB ⇒ AD = $\frac{1}{2}$. AB
E là trung điểm của AC ⇒ AE = $\frac{1}{2}$.AC
⇒ AD = AE
Xét ∆ABE và ∆ACD có :
AB = AC
$\widehat{A}$ chung
AE = AD
⇒ ∆ABE = ∆ACD ( c.g.c)
⇒ BE = CD = 9 cm
Xét ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại F