1. Đường cao của tam giác

Hoạt động khám phá 1: Em hãy vẽ một tam giác ABC trên giấy, sau đó dùng êke vẽ đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh đối diện AC của tam giác.

Lời giải tham khảo:

Thực hành 1: Vẽ ba đường cao AH, BK, CE của tam giác nhọn ABC

Lời giải tham khảo:

Vận dụng 1: Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC ( Hình 2a). Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác tù DEF ( Hình 2b).

Lời giải tham khảo:

a) Đường cao từ đỉnh B của tam giác ABC là BA (vì BA ⊥ AC).

b) 

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Hoạt động khám phá 2: Vẽ một tam giác rồi dùng êke vẽ ba đường cao của tam giác ấy (Hình 3). Em hãy quan sát và cho biết các đường cao vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.

Lời giải tham khảo:

Cả 3 đường cao đều cùng đi qua một điểm.

Thực hành 2: Cho tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (Hình 6). Chứng minh rằng NS vuông góc ML.

Lời giải tham khảo:

Trong tam giác MNL  có :

• LP ⊥ MN ⇒ LP là đường cao của tam giác MNL.
• MQ ⊥ LN⇒ MQ là đường cao của tam giác MNL.

LP giao với MQ tại S 

⇒ S là trực tâm của tam giác MNL

Vì 3 đường cao của tam giác cắt nhau tại 1 điểm.

⇒ NS ⊥ LM.

Vận dụng 2: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HAB, HAC.

Lời giải tham khảo:

Xét ∆HBC có:

• HD ⊥ BC
• CE ⊥ BH
• BF ⊥ CH

⇒ Tam giác HBC có 3 đường cao là HD, CE, BF mà BF, DH, CE giao nhau tại A

⇒ A là trực tâm của ∆HBC.

Xét ∆HAB có:

• HF ⊥ AB
• AE ⊥ BH
• BD ⊥ AH

⇒ Tam giác HAB có 3 đường cao là HF, AE, BD mà BD, FH, AE giao nhau tại C

⇒ C là trực tâm của ∆HAB.

Xét ∆HAC có:

• HE ⊥ AC
• AF ⊥ CH
• CD ⊥ AH

⇒ Tam giác HAC có 3 đường cao là HE, AF, CD.

AF, HE, CD giao nhau tại B

⇒ B là trực tâm của ∆HAC.

3. BÀI TẬP 

Bài 1 trang 78 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng  CH vuông góc với NB.

Lời giải tham khảo:

Xét ∆CNB có :

• BA ⊥ CA hay BA ⊥ CN ⇒ BA là đường cao của tam giác CNB
• HM ⊥ CB hay NM ⊥ CB ⇒ NM là đường cao của tam giác CNB
• NM giao với BA tại điểm H

⇒ H là trực tâm của ∆CNB

⇒ CH ⊥ NB.

Bài 2 trang 78 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Lời giải tham khảo:

Gọi MH giao với BC tại điểm I.

Xét  ∆MBH và  ∆CBH có:

• MB = MC
• $\widehat{MBH} = \widehat{CBH}$
• BH chung

⇒ ∆MBH = ∆CBH (c.g.c)

⇒ $\widehat{BMH} = \widehat{BCH}$  

Xét ∆ABC vuông tại A có: $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^{o}$

Ta có: $\widehat{BMI} + \widehat{ABC} =  \widehat{ACB} + \widehat{ABC} =  90^{o}$

Xét ∆BMI có: $\widehat{BMI} + \widehat{ABC} = 90^{o}$

⇒ $\widehat{BIM} =  90^{o}$.

⇒ MI ⊥ BC 

⇒ MH ⊥ BC.

Bài 3 trang 78 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Lời giải tham khảo:

a) Gọi F là giao điểm của DE và BC

+ AD = AE ⇒ ∆ADE cân tại A

∆ABC vuông cân tại A ⇒ BA ⊥ AC hay EA ⊥ AD

⇒ ∆ADE vuông cân tại A

⇒ $\widehat{AED}$ = $\widehat{ADE}$ = 45°

∆ABC vuông cân tại A

⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ = 45°

Xét ∆EFC có : $\widehat{FEC}$ + $\widehat{FCE}$ + $\widehat{EFC}$ = 180°

⇒  45° + 45° + $\widehat{EFC}$ = 180°

⇒ $\widehat{EFC}$ = 180° - 90° = 90°

⇒ EF ⊥ BC 

⇒ DE ⊥ BC.

b) Xét tam giác BCD có: 

• CA ⊥ BD ⇒ CA là đường cao của ∆BCD
• DE ⊥ BC ⇒ DE là đường cao của ∆BCD
• Mà DE giao với CA tại E

⇒ E là trực tâm của ∆BCD

⇒ BE ⊥ CD.

Bài 4 trang 78 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải tham khảo:

BE là đường cao của ∆ABC ⇒ ∆ABE vuông tại E.

CF là đường cao của ∆ABC ⇒ ∆AFC vuông tại F.

AD là  đường cao của ∆ABC ⇒ ∆ADC vuông tại D.

Xét ∆ABE vuông tại E và ∆AFC vuông tại F có :

• BE = CF
• $\widehat{EAF}$ chung

⇒  ∆ABE = ∆AFC (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

⇒  AB = AC (1)

Xét ∆CDA vuông tại D và ∆AFC vuông tại F có :

• AC chung
• AD = CF

⇒  ∆CDA = ∆AFC (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

⇒  $\widehat{CAF}= \widehat{ACD}$

⇒ ∆ABC cân tại B

⇒ AB = BC (2)

Từ (1), (2) ta có : AB = AC = BC

⇒ ∆ABC đều.