1. Đường phân giác của tam giác

Hoạt động khám phá 1: Vẽ và cắt hình tam giác ABC rồi gấp hình sao cho cạnh AB trùng với cạnh AC ta được nếp gấp AD (Hình 1). Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc nào trong tam giác ABC.

Lời giải tham khảo:

Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của $\widehat{BAC}$ trong tam giác ABC.

Thực hành: Trong Hình 3, hãy vẽ các đường phân giác GM, EN và FP của tam giác EFG.

Lời giải tham khảo:

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Hoạt động khám phá 2: Vẽ một tam giác trên giấy. Cắt rời tam giác ra khỏi tờ giấy rồi gấp hình tam giác đó để xác định ba đường phân giác của tam giác (Hình 4). Em hãy quan sát và nhận xét xem ba đường phân giác có cùng đi qua một điểm hay không ?

Lời giải tham khảo:

Ba đường phân giác hình trên có cùng đi qua một điểm.

Vận dụng: Một nông trại nằm trên mảnh đất hình tam giác có ba cạnh tường rào tiếp giáp với ba con đường ( Hình 7). Hỏi phải đặt trạm quan sát ở đâu để nó cách đều ba cạnh tường rào?

Lời giải tham khảo:

Gọi mảnh đất hình tam giác có 3 đỉnh là A, B, C và AB, AC, BC là 3 cạnh tường rào và vị trí đặt trạm quan sát là I.

Vì trạm quan sát cách đều ba cạnh tường rào 

⇒ Điểm I cách đều ba cạnh AB, AC, BC.

⇒ I là giao của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

Vậy vị trí của trạm quan sát là tại điểm I, giao của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

3. BÀI TẬP

 Bài 1 trang 81 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Trong hình 8, I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

a) Cho biết IM = 6 ( Hình 8a). Tính IK và IN.

b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x -3 ( Hình 8b). Tìm x.

Lời giải tham khảo:

a) I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC

⇒ IM = IN =IK mà IM = 6

⇒ IN = IK = 6.

b) I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC.

⇒ IM = IN 

⇒ 2x - 3 = x + 3

⇒ x = 6.

Vậy x = 6.

 Bài 2 trang 82 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM.  Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.

Lời giải tham khảo:

Xét △ABM và △ACM có:

• AB = AC (tam giác cân tại A)
• BM = CM (M là trung điểm BC)
• AM chung

⇒ △ABM = △ACM (c.c.c)

⇒ $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$

⇒ AM là tia phân giác của tam giác ABC.

Xét △ABC có: BI và AM là hai tia phân giác mà BI và AM cắt nhau tại I

⇒ I là giao của ba đường phân giác trong △ABC.

⇒ CI là tia phân giác của góc C.

Bài 3 trang 82 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Lời giải tham khảo:

M là giao điểm của 2 tia phân giác của $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ trong ∆ABC

⇒ AM là phân giác của $\widehat{BAC}$

⇒ $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$

Xét ∆ABH và ∆ACH có:

• AB = AC
• $\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$
• AH chung

⇒ ∆ABH = ∆ACH (c.g.c)

⇒ HB = HC

⇒ H là trung điểm của BC.

Bài 4 trang 82 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.

Lời giải tham khảo:

MN // EF ⇒ MI // EF 

⇒ $\widehat{MIE}  = \widehat{IEF}$ (2 góc so le trong) mà $\widehat{MEI}  = \widehat{IEF}$ (EI là đường phân giác của $\widehat{DEF}$)

=>$\widehat{MEI}  = \widehat{MIE}$

⇒ ∆MEI cân tại M 

⇒ ME = MI.

IF là đường phân giác của $\widehat{DFE}$ 

⇒ $\widehat{NFI} = \widehat{IFE}$

IN // EF ⇒ $\widehat{NIF}= \widehat{IFE}$ (hai góc so le trong)

⇒ $\widehat{NFI} = \widehat{NIF}$

⇒ ∆NIF cân tại N 

⇒ NI = NF

Ta có: MI + NI = MN mà MI = ME; NI = NF

⇒ ME + NF = MN.

Bài 5 trang 82 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ANM vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.

Lời giải tham khảo:

Xét ∆AMN có: I là giao điểm của hai đường phân giác của $\widehat{ANM}$  và $\widehat{AMN}$

⇒ AI là tia phân giác của $\widehat{NAM}$ trong tam giác AMN.

⇒ $\widehat{IAN}= \widehat{IAM}$  = $\frac{1}{2} \widehat{NAM}$ =  $\frac{1}{2}$ 90°= 45°

Xét ∆ART vuông tại T: $\widehat{TRA}$ = 90° - 45°= 45°

⇒ $\widehat{TRA} = \widehat{TAR}$

⇒ ∆ART vuông cân tại T.

⇒ AT = RT

Bài 6 trang 82 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi ba xa lộ ( Hình 9 ). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho địa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thỏa mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện

Lời giải tham khảo:

Theo như hình 9, 3 xa lộ sẽ ứng với 3 cạnh AB, AC,CB của ∆BC.

Gọi vị trí của sân bay là điểm I.

Theo đề bài sân bay cách đều 3 xa lộ 

⇒ Điểm I cách đều 3 cạnh AB, AC, BC.

⇒ I là giao 3 đường phân giác của ∆ABC.

Vậy vị trí sân bay cần tìm là vị trí điểm I, thỏa mãn là giao của 3 đường phân giác trong ∆ABC.