1. BÀI TẬP 5 TRANG 69 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Gợi ý:

Dựa vào đầu bài, ta thấy:

Độ dài cạnh góc vuông thứ nhất = 3

Độ dài cạnh góc vuông thứ hai = 4

Tính: 

+) Chiều dài của đường cao ứng với cạnh huyền?

+) Hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền?

Giải:

Dựng tam giác vuông ABC, vuông tại A, có:

AB = 3, AC = 4

Đường cao AH = x

 BH = y, CH = z

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\):

Theo định lí Pitago, có:

\(BC^2=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16}=\sqrt{25} =5\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(AB^2=BH.BC\) (theo Đl1)

⇒ \(3^2=y.5\)

⇒ \(9=y.5\)

⇒ \(y=9:5 =1,8\)

\(AC^2=CH.BC\) (theo Đl1)

⇒ \(4^2=z.5\)

⇒ \(16=z.5\)

⇒ \(z=16:5 =3,2\)

\(AH^2=BH.CH\) (theo Đl 2)

⇒ \(x^2=1,8.3,2= 5,76\)

⇒ \(x=2,4\)

2. BÀI TẬP 6 TRANG 69 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Gợi ý:

Dựa vào đầu bài, ta thấy:

Hình chiếu của các cạnh góc vuông lần lượt có độ dài là: 1, 2

Tính: Độ dài của các cạnh góc vuông?

Giải:

Dựng tam giác vuông ABC, vuông tại A, có đường cao AH ứng với cạnh huyền BC, trong đó: BH =1, CH =2

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\):

BC = BH + CH = 1 + 2 = 3

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(AB^2=BH.BC\) (theo Định lí 1)

⇒ \(AB^2=1.3=3\)

⇒ \(AB=\sqrt{3}\)

\(AC^2=CH.BC\) (theo Đl1)

⇒ \(AC^2=2.3=6\)

⇒ \(AC=\sqrt{6}\)

3. BÀI TẬP 7 TRANG 69 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

 Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là \(x^2 = ab\)) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Giải:

Để chứng minh các cách vẽ trên là đúng, ta có thể dựa vào hình và chứng minh hình đó thỏa mãn công thức: \(x^2 = ab\)

• Chứng minh cách vẽ hình 1:

Đặt tên các đoạn thẳng như hình dưới. 

Xét \(\triangle{ABC}\), có:

\(OA=OB=OC=\frac{BC}{2}=R\)

Mà AO là đường trung tuyến ứng với BC

⇒ \(\triangle{ABC}\) là tam giác vuông tại A ( Định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\):

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(AH^2=BH.CH\) (theo Định lí 2) ⇒  \(x^2 = ab\) (đpcm)

• Chứng minh cách vẽ hình 2:

Đặt tên các đoạn thẳng như hình dưới.

Tương tự cách 1, ta có thể chứng minh: \(\triangle{ABC}\) là tam giác vuông tại A.

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\):

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(AB^2=BH.BC\) (theo Định lí 1) ⇒  \(x^2 = ab\) (đpcm).

4. BÀI TẬP 8 TRANG 70 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(x^2=4.9\) (theo Định lí 2) ⇒ \(x^2=36\) ⇒ \(x=6\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(2^2=x.x\) (theo Định lí 2) ⇒ \(4=x^2\) ⇒ \(x=2\)

\(y.y=2.(x+x)\) (theo Định lí 3) ⇒ \(y^2=2.2x\) ⇒ \(y^2=2.2.2 =8\)

⇒ \(y=2\sqrt{2}\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(12^2=16.x\) (theo Định lí 2) ⇒  \(144=16.x\) ⇒ \(x=\frac{144}{16}=9\)

\(y^2=x.(16+x)\) (theo Định lí 1) ⇒ \(y^2=9.(16+9) = 9.25\)

⇒ \(y=\sqrt{9.25}=\sqrt{9}.\sqrt{25} = 3.5\)

⇒ \(y= 15\).

5. BÀI TẬP 9 TRANG 70 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng \(\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Giải:

a) 

Ta có: \(\widehat{D_1} +\widehat{CDK} =90^0)\)

           \(\widehat{D_2} +\widehat{CDK} =90^0)\)

⇒ \(\widehat{D_1} = \widehat{D_2}\) ( cùng phụ với \(\widehat{CDK}\))

Xét \(\triangle{ADI}\) và \(\triangle{CDL}\) có:

\(\widehat{DAI} = \widehat{DCL}\) ( = \(90^0\))

                   AD = CD (vì ABCD là hình vuông)

\(\widehat{D_1} = \widehat{D_2}\) (chứng minh trên)

⇒ \(\triangle{ADI}=\triangle{CDL}\) (g-c-g).

⇒ \(DI = DL\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó: Tam giác DIL là một tam giác cân tại D.

b) 

Xét \(\triangle{DKL}\) \((\widehat{KDL}=90^0)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

\(\frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2}\) (theo định lí 4)

Mà \(DI = DL\) ( chứng minh trên)

Nên: \(\frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)

Mặt khác: DC là cạnh của hình vuông có độ dài không đổi ⇒ \(DC^2\) không đổi.

⇒ \(\frac{1}{DC^2}\) không đổi.

Vậy tổng \(\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.