Bài tập 1 trang 68 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? Tìm biến và bậc của đa thức đó.

a. -7x+5

b. 2021x² − 2022x + 2023

c. $2y^{3}-\frac{3}{y+2}+4$

d. $-2t^{m}+8t^{2}+t-1$, với m là số tự nhiên lớn hơn 2

Lời giải tham khảo:

Biểu thức a, b, d là đa thức một biến. 

• a. Biến x, bậc 1
• b. Biến x, bậc 2
• d. Biến t, bậc m

Bài 2 trang 68 Toán 7 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = -5a - b - 20 tại a = -4, b = 18;

b) B = -8xyz + 2xy + 16y tại x = -1, y = 3, z = -2;

c) C = $-x^{2021}y^{2} + 9x^{2021}$ tại x = -1, y = -3.

Lời giải tham khảo:

a) Thay a = -4, b = 18 vào biểu thức A = -5a - b - 20 ta được:

A = -5.(-4) - 18 - 20

A = 20 - 18 - 20

A = -18.

Vậy A = -18 khi a = -4, b = 18.

b) Thay x = -1, y = 3, z = -2 vào biểu thức B = -8xyz + 2xy + 16y ta được:

B = -8.(-1).3.(-2) + 2.(-1).3 + 16.3

B = -48 + (-6) + 48

B = -6.

Vậy B = -6 khi x = -1, y = 3, z = -2.

c) Thay x = -1, y = -3 vào biểu thức C = $-x^{2021}y^{2} + 9x^{2021}$ ta được:

C = $-(-1)^{2021}. (-3)^{2} + 9. (-1)^{2021}$

C = -(-1) . 9 + 9 . (-1)

C = 1.9 + (‒9)

C = 9 + (-9)

C = 0.

Vậy C = 9 khi x = -1, y = -3.

Bài 3 trang 68 Toán 7 Tập 2: Viết đa thức trong mỗi trường hợp sau:

a) Đa thức bậc nhất có hệ số của biến bằng -2 và hệ số tự do bằng 6;

b) Đa thức bậc hai có hệ số tự do bằng 4;

c) Đa thức bậc bốn có hệ số của lũy thừa bậc 3 của biến bằng 0;

d) Đa thức bậc sáu trong đó tất cả hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0.

Lời giải tham khảo:

a) Đa thức cần tìm là đa thức bậc nhất => số mũ cao nhất của biến là 1.

Đa thức có hệ số của biến bằng -2 và hệ số tự do bằng 6

=> đa thức bậc nhất cần tìm là: -2x + 6.

b) Đa thức cần tìm là đa thức bậc hai => số mũ cao nhất của biến là 2 và hệ số của luỹ thừa bậc 2 của biến là một số tuỳ ý khác 0.

Đa thức có hệ số của luỹ thừa bậc 1 của biến là một số tùy ý (do đề bài không đề cập đến) và hệ số tự do bằng 4.

=> Đa thức cần tìm có dạng ax² + bx + 4 với a, b ∈ ℝ và a ≠ 0.

Ví dụ: đa thức cần tìm có thể là x² + x + 4; 2x² + 4;…

c) Đa thức cần tìm là đa thức bậc bốn => số mũ cao nhất của biến là 4 và hệ số của luỹ thừa bậc 4 của biến là một số tuỳ ý khác 0.

Đa thức có hệ số của lũy thừa bậc 3 của biến bằng 0 và hệ số của lũy thừa bậc 2, bậc 1 của biến là một số tùy ý, hệ số tự do là một số tùy ý.

=> Đa thức cần tìm có dạng ax⁴ + bx² + cx + d với a, b, c, d ∈ ℝ và a ≠ 0.

Ví dụ: đa thức cần tìm có thể là: x⁴; x⁴ + 2x² + 3x + 4;…

d) Đa thức cần tìm là đa thức bậc sáu => số mũ cao nhất của biến là 6 và hệ số của luỹ thừa bậc 6 là một số tùy ý khác 0.

Trong đa thức này tất cả hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0 và hệ số các lũy thừa bậc chẵn còn lại của đa thức là một số tùy ý, hệ số tự do là một số tùy ý.

=> Đa thức cần tìm có dạng ax⁶ + bx⁴ + cx² + d với a, b, c, d ∈ ℝ và a ≠ 0.

Ví dụ: đa thức cần tìm có thể là 2x⁶ + 3; x⁶ + 2x²;…

Bài 4 trang 68 Toán 7 Tập 2: Kiểm tra xem trong các số -1, 0, 1, 2, số nào là nghiệm của mỗi đa thức sau:

a) 3x - 6;

b) x⁴ - 1;

c) 3x² - 4x;

d) x² + 9.

Lời giải tham khảo:

a) Thay x = -1 vào đa thức ta được: 3.(-1) - 6 = -3 - 6 = -9 ≠ 0.

=> -1 không là nghiệm của đa thức 3x - 6.

Thay x = 0 vào đa thức ta được: 3.0 - 6 = 0 - 6 = -6 ≠ 0.

=> 0 không là nghiệm của đa thức 3x - 6.

Thay x = 1 vào đa thức ta được: 3.1 - 6 = 3 - 6 = -3 ≠ 0.

=> 1 không là nghiệm của đa thức 3x - 6.

Thay x = 2 vào đa thức ta được: 3.2 - 6 = 6 - 6 = 0.

=> 2 là nghiệm của đa thức 3x - 6.

Vậy số 2 là nghiệm của đa thức 3x - 6.

b) Thay x = -1 vào đa thức x⁴ - 1 ta được: (-1)⁴ - 1 = 1 - 1 = 0.

=> -1 là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

Thay x = 0 vào đa thức x⁴ - 1 ta có: 0⁴ - 1 = -1 ≠ 0.

=> 0 không là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

Thay x = 1 vào đa thức x⁴ - 1 ta có: 1⁴ - 1 = 0.

=> 1 là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

Thay x = 2 vào đa thức x⁴ - 1 ta có: 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15 ≠ 0.

=> 2 không là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

Vậy số - 1 và số 1 là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

c) Thay x = -1 vào đa thức trên ta được: 3.(-1)² - 4.(-1) = 3 + 4 = 7 ≠ 0.

=> -1 không là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

Thay x = 0 vào đa thức trên ta được : 3.0² - 4.0 = 0.

=> 0 là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

Thay x = 1 vào đa thức trên ta có: 3.1² - 4.1 = 3 - 4 = -1 ≠ 0.

=> 1 không là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

Thay x = 2 vào đa thức trên ta có: 3 . 2²- 4 . 2 = 12 - 8 = 4 ≠ 0.

=> 2 không là nghiệm của đa thức x⁴ - 1 .

Vậy 0 là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

d) Thay x = -1 vào đa thức trên ta có: (-1)² + 9 = 10 ≠ 0.

=> -1 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

Thay x = 0 vào đa thức trên ta có: 0²+ 9 = 9 ≠ 0.

=> 0 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

Thay x = 1 vào đa thức trên ta có: 1² + 9 = 10 ≠ 0.

=> 1 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

Thay x = 2 vào đa thức trên ta có: 2² + 9 = 13 ≠ 0.

=> 2 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

Vậy không có số nào là nghiệm của đa thức x² + 9.

Bài 5 trang 68 Toán 7 Tập 2: Cho đa thức P(x) = -9x⁶ + 4x + 3x⁵ + 5x + 9x⁶- 1.

a) Thu gọn đa thức P(x).

b) Tìm bậc của đa thức P(x).

c) Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -1; x = 0; x = 1.

Lời giải tham khảo:

a) P(x) = -9x⁶ + 4x + 3x⁵ + 5x + 9x⁶ - 1

P(x) = (-9x⁶ + 9x⁶) + 3x⁵ + (4x + 5x) - 1

P(x) = 3x⁵ + 9x - 1.

b) Đa thức P(x) có số mũ cao nhất của biến là 5 nên bậc của đa thức P(x) là 5.

c) Thay x = ‒1 vào đa thức P(x) = 3x⁵ + 9x - 1 ta có:

P(-1) = 3.(-1)⁵ + 9.(-1) - 1 

= 3.(-1) + (-9) - 1 

= -3 - 9 - 1 

= -13.

Thay x = 0 vào đa thức P(x) = 3x⁵ + 9x - 1 ta có:

P(0) = 3.0⁵ + 9.0 - 1 

= 0 + 0 -1 

= -1.

Thay x = 1 vào đa thức P(x) = 3x⁵ + 9x - 1 ta có:

P(1) = 3.1⁵ + 9.1 - 1 

= 3 + 9 - 1 

= 11.

Vậy P(-1) = -13; P(0) = -1 và P(1) = 11.

Bài 6 trang 68 Toán 7 Tập 2: Tính:

a) -2x² + 6x²;

b) 4x³ - 8x³;

c) 3x⁴(-6x²);

d) (-24x⁶) : (-4x³).

Lời giải tham khảo:

a) -2x² + 6x² 

= (-2 + 6).x² 

= 4x².

b) 4x³ - 8x³ 

= (4 - 8).x³ 

= -4x³.

c) 3x⁴(-6x²) 

= 3.(-6).x⁴.x² 

= -18$x^{4+2}$ 

= -18x⁶.

d) (-24x⁶) : (-4x³) 

= [-24 : (-4)].(x⁶ : x³) 

= 6x^{6-3}$ 

= 6x³.

Bài 7 trang 68 Toán 7 Tập 2: Tính:

a) (x² + 2x + 3) + (3x² - 5x + 1);

b) (4x³ - 2x² - 6) - (x³ - 7x² + x - 5);

c) -3x²(6x² - 8x + 1);

d) (4x² + 2x + 1)(2x - 1);

e) (x⁶ - 2x⁴ + x²) : (-2x²);

g) (x⁵ - x⁴ - 2x³) : (x² + x).

Lời giải tham khảo:

a) (x² + 2x + 3) + (3x² - 5x + 1)

= x² + 2x + 3 + 3x² - 5x + 1

= (x² + 3x²) + (2x - 5x) + (3 + 1)

= (1 + 3)x² + (2 – 5)x + 4

= 4x² - 3x + 4.

b) (4x³ - 2x² - 6) - (x³ - 7x² + x - 5)

= 4x³ - 2x² - 6 - x³ + 7x² - x + 5

= (4x³ - x³) + (-2x² + 7x²) - x + (-6 + 5)

= (4 – 1)x³ + (‒2 + 7)x² – x ‒ 1

= 3x³ + 5x² - x - 1.

c) -3x²(6x² - 8x + 1)

= -3x².6x² - (-3x²).8x + (-3x²).1

= -18x⁴ - (-24)x³ + (-3)x²

= - 18x⁴ + 24x³ - 3x².

d) (4x² + 2x + 1)(2x - 1)

= 4x².2x - 4x².1 + 2x.2x - 2x.1 + 1.2x - 1.1

= 8x³ - 4x² + 4x² + (-2x + 2x) - 1

= 8x³ + (-4x² + 4x²) - 1

= 8x³ - 1.

e) (x⁶ - 2x⁴ + x²) : (-2x²)

= x⁶ : (-2x²) - 2x⁴ : (-2x²) + x² : (-2x²)

= $\frac{1}{2}$x⁴ + x² - 2

g) 

Vậy (x⁵ - x⁴ - 2x³) : (x² + x) = x³ - 2x².

Bài 8 trang 69 Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức: A(x) = 4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6 và B(x) = -5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴.

a) Tìm đa thức M(x) sao cho M(x) = A(x) + B(x).

b) Tìm đa thức C(x) sao cho A(x) = B(x) + C(x).

Lời giải tham khảo:

a) M(x) = A(x) + B(x)

= (4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6) + (-5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴)

= 4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6 - 5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴

= (4x⁴ - 4x⁴) + (-7x³ + 7x³) + (6x² - 5x²) + (-5x + 5x) + (-6 + 4)

= 0.x⁴ + 0.x³ + (6 – 5).x² + 0.x + (‒2)

= x² - 2.

b) Ta có: A(x) = B(x) + C(x)

=> C(x) = A(x) - B(x)

= (4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6) - (-5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴)

= 4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6 + 5x² - 7x³ - 5x - 4 + 4x⁴

= (4x⁴ + 4x⁴) + (-7x³ - 7x³) + (6x² + 5x²) + (-5x - 5x) + (-6 - 4)

= (4 + 4).x⁴ + (-7 - 7).x³ + (6 + 5).x² + (-5 - 5).x + (-10)

= 8x⁴ - 14x³ + 11x² - 10x - 10.

Bài 9 trang 69 Toán 7 Tập 2: Cho P(x) = x³ + x² + x + 1 và Q(x) = x⁴ - 1. Tìm đa thức A(x) sao cho P(x).A(x) = Q(x).

Lời giải tham khảo:

Ta có: P(x).A(x) = Q(x)

=> A(x) = Q(x) : P(x).

=> Q(x) : P(x) = x – 1

Vậy A(x) = x - 1.

Bài 10 trang 69 Toán 7 Tập 2: Nhân dịp lễ Giáng sinh, một cửa hàng bán quần áo trẻ em thông báo khi mua mỗi bộ quần áo sẽ được giảm giá 30% so với giá niêm yết. Giả sử giá niêm yết một bộ quần áo là x (đồng). Viết biểu thức tính số tiền phải trả khi mua loại quần áo đó với số lượng:

a) 1 bộ;

b) 3 bộ;

c) y bộ.

Lời giải tham khảo:

Vì mỗi bộ quần áo được giảm giá 30% so với giá niêm yết (x đồng) 

=> Giá sau khi đã giảm sẽ bằng 100% - 30% = 70% giá niêm yết.

Vậy giá một bộ quần áo sau khi giảm 30% là: 

70% . x = 0,7.x (đồng).

a) Số tiền phải trả khi mua 1 bộ là: 

0,7x.1 = 0,7x (đồng).

=> Biểu thức tính số tiền khi mua 1 bộ loại quần áo đó là 0,7x đồng.

b) Số tiền phải trả khi mua 3 bộ là: 

0,7x.3 = 2,1x (đồng).

=> Biểu thức tính số tiền khi mua 3 bộ loại quần áo đó là 2,1x đồng.

c) Số tiền phải trả khi mua y bộ là: 

0,7xy (đồng).

=> Biểu thức tính số tiền khi mua y bộ loại quần áo đó là 0,7xy đồng.

Bài 11 trang 69 Toán 7 Tập 2: Một doanh nghiệp kinh doanh cà phê cho biết: Sau khi rang xong, khối lượng cà phê giảm 12% so với trước khi rang.

a) Tìm số thích hợp cho ? ở bảng sau:

b) Tìm công thức chỉ mối liên hệ giữa x và y.

c) Để có được 2 tấn cà phê sau khi rang thì doanh nghiệp đó cần sử dụng bao nhiêu tấn cà phê trước khi rang?

Lời giải tham khảo:

a) Ta có bảng sau:

b) Công thức chỉ mối liên hệ giữa x và y là: 

y = (100% - 12%)x = 0,88x.

c) Số tấn cà phê cần dùng để có được 2 tấn cà phê sau khi rang là:

2 : 88% ≈ 2,27 tấn.

Bài 12 trang 69 Toán 7 Tập 2: Một công ty sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là x (nghìn đồng) với x < 60 thì có doanh thu là -5x² + 50x + 15 000 (nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đã bán được theo x.

Lời giải tham khảo:

Sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là x (nghìn đồng) (x < 60) thì ta có giá của mỗi sản phẩm sau khi tăng giá là: x + 50 (nghìn đồng).

=> Số sản phẩm đã bán được là: (-5x² + 50x + 15 000) : (x + 50)

Thực hiện phép chia đa thức ta được:

=> (-5x² + 50x + 15 000) : (x + 50) = ‒5x + 300

Vậy công ty đã bán được -5x + 300 sản phẩm với x < 60.

Bài 13 trang 69 Toán 7 Tập 2: Một công ty du lịch dự định dùng 2 xe ô tô để chở khách đi tham quan, mỗi xe chở tối đa 35 khách, mức giá cho chuyến đi là 900 nghìn/người và đã có 50 người đăng kí tham quan. Công ty đặt chính sách khuyến mãi như sau: Sẽ giảm giá cho mỗi người trong đoàn tham quan là 10 nghìn đồng khi cứ có thêm 1 khách tham quan ngoài 50 khách trên.

a) Giả sử số khách tham quan thêm là x (x ≤ 20). Tính số tiền mà công ty thu được theo x.

b) Nếu 2 xe ô tô của công ty đều chở tối đa số khách thì số tiền công ty thu được tổng cộng là bao nhiêu?

Lời giải tham khảo:

a) Số tiền giảm giá cho mỗi người khi có thêm x khách tham quan là: 10x (nghìn đồng) vậy số tiền mỗi người cần trả khi được giảm giá là: 900 - 10x (nghìn đồng).

Ban đầu có 50 khách, có thêm x khách thì tổng số khách tham quan là x + 50 (khách) nên số tiền công ty thu được là (x + 50)(900 - 10x) (nghìn đồng).

b) Mỗi xe được chở tối đa 35 khách

=> Nếu cả 2 xe ô tô đều chở tối đa khách thì tổng số khách tham quan là: 2.35 = 70 (khách).

=> Có thêm 20 khách so với 50 khách ban đầu.

=> x = 20.

Thay x = 20 vào biểu thức (x + 50)(900 - 10x) ta có số tiền công ty thu được là:

(20 + 50). (900 – 10.20) 

= 70.(900 – 200) 

= 70. 700 = 49 000 (nghìn đồng) 

= 49 triệu đồng.

Vậy công ty thu được tổng cộng là 49 triệu đồng.