Bài tập 1 trang 119 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác ABC có: $\widehat{A}=42^{0}$, $\widehat{B}=37^{0}$

a. Tính $\widehat{C}$

b. So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA

Lời giải tham khảo:

a. $\widehat{C} = 180^{0} - 42^{0} - 37^{0}$ = $101^{0}$

b. Vì 37° < 42° < 101° 

=> $\widehat{B}$ < $\widehat{A} < $\widehat{C}$. 

=> AB > AC > BC

Bài tập 2 trang 119 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Tìm các số đo x, y trong Hình 140

Lời giải tham khảo:

Vì $\Delta ABO$ có AB = AO = BO

=> ΔABO đều

=> $x = 60^{0}$

=> $\widehat{AOC} = 120^{0}$

Vì $\Delta AOC$ có: OA = OC 

=> ΔAOC cân tại O

=> y = $30^{0}$

Bài tập 3 trang 119 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ 2 đi từ B đến A. Theo em, đường nào đi dài hơn, vì sao?

Lời giải tham khảo:

Theo em đường đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B sẽ dài hơn vì trong một tam giác thì tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Bài tập 4 trang 119 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh AI = MK

Lời giải tham khảo:

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

• AB = MN (theo giả thiết).
• BC = NP (theo giả thiết).
• CA = PM (theo giả thiết).

=> ∆ABC = ∆MNP (c - c - c) mà AI và MK lần lượt là đường trung tuyến của 2 tam giác 

=> AI = MK

Bài tập 5 trang 119 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa 2 điểm M, N. Chứng minh: Nếu OM = ON thì AM//BN

Lời giải tham khảo:

Nếu OM = ON ta có:

Xét $\Delta AOM và \Delta BON$ có:

• OA = OB
• $\widehat{AOM}=\widehat{BON}$
• OM=ON

=> $\Delta AOM = \Delta BON$ (c.g.c)

=> $\widehat{AMO}=\widehat{BNO}$ mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

=> AM // BN

Bài tập 6 trang 119 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{ABC}=70^{0}$. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a. Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC

b. Chứng minh BD = CE

Lời giải tham khảo:

a. Vì ∆ABC cân tại A

=> $\widehat{C}=\widehat{B}=70^{0}$

=> $\widehat{A}=40^{0}$

Xét $\Delta BCE và \Delta BCD$ có:

• BC chung
• $\widehat{E}=\widehat{D}=90^{0}$
• $\widehat{B}=\widehat{C}$ (vì $\Delta ABC$ cân)

=> $\Delta BCE = \Delta BCD$

=> BD = CE

Bài 7 trang 119 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K. Chứng minh AI//EK.

Lời giải tham khảo:

∆ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I 

=> I là trực tâm của ∆ABC.

=> AI ⊥ BC.

∆ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K 

=> K là trực tâm của ∆ECD.

=> EK ⊥ CD.

Vì B, C, D thẳng hàng 

=> AI ⊥ BC 

=> AI ⊥ BD.

EK ⊥ CD => EK ⊥ BD.

=> AI // EK.

Bài 8 trang 120 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144). Chứng minh:

a. $\Delta OMA=\Delta OMB$ 

b. Tia MO là tia phân giác của góc NMP

Lời giải tham khảo:

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của ∆ABC 

=> OA = OB = OC.

Xét ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B có:

• OM chung.
• OA = OB (chứng minh trên).

=> ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> $\widehat{OMA}$ = $\widehat{OMB} (2 góc tương ứng).

=> MO là tia phân giác của $\widehat{BMA}$ hay MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$

b) Thực hiện nối OP.

Xét ∆OPA vuông tại A và ∆OPC vuông tại C có:

• OP chung.
• OA = OC (chứng minh trên).

=> ∆OPA = ∆OPC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> $\widehat{OPA}$ = $\widehat{OPC}$ (2 góc tương ứng).

=> PO là tia phân giác của $\widehat{CPA}$ hay PO là tia phân giác của $\widehat{NPM}$

Trong ∆NMP có O là giao điểm hai đường phân giác của góc M và góc P mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm 

=> O là giao điểm ba đường phân giác của ∆MNP.

Bài 9 trang 120 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A. Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

Lời giải tham khảo:

Theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC nên ta xác định điểm D như sau:

• Bước 1: Kẻ hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.
• Bước 2: Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.
• Bước 3: Từ H kẻ đường vuông góc với BC, đường vuông góc này cắt BC tại một điểm, điểm đó chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

Bài 10 trang 120 SGK Toán 7 tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng: 

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng; 

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải tham khảo:

a)

Trong ∆ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến.

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

• AB = AC (tam giác ABC cân);
• AD chung;
• BD = DC (D là trung điểm của BC).

Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.c.c.). 

=>\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng); \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Vậy AD là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A.

=> AD là đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy AD là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC mà G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực 

=> A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy nếu ∆ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b)

Ta có: \(AD \bot BC\).

H là trực tâm của ∆ABC 

=> A, H, D thẳng hàng mà A, H, I  thẳng hàng 

=> A, H, I, K thẳng hàng.

=> AD là tia phân giác của góc BAC (Vì AI là tia phân giác của góc BAC).

=> \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Xét tam giác BAD và tam giác CAD có:

• \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\);
• AD chung;
• \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (\(AD \bot BC\)).

\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\)(g.c.g). 

=> AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).

=> ∆ABC cân tại A

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì ∆ABC cân tại A.

Bài 11 trang 120 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác MNP có $\widehat{M}=40^{0}$, $\widehat{N}=70^{0}$. Khi đó $\widehat{P}$ bằng:

A. 10°

B. 55°

C. 70°

D. 110°

Lời giải tham khảo:

Đáp án đùng là: C. 70°

Bài 12 trang 120 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?

A. Góc HPN

B. Góc NPM

C. Góc MPN

D. Góc NHP

Lời giải tham khảo:

Đáp án đùng là: A. Góc HPN

Bài 13 trang 120 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Cho tam giác MNP có MN = 1dm, NP = 2dm, MP = x dm với x thuộc {1; 2; 3; 4}. Khi đó x nhận giá trị nào?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải tham khảo:

Đáp án đùng là: B. 2

Bài 14 trang 120 toán 7 tập 2 Cánh Diều: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số $\frac{MG}{MI}$ bằng:

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{3}$