Ibaitap.com sẽ hướng dẫn trả lời chi tiết cho các câu hỏi Toán lớp 7 của bộ sách Chân trời sáng tạo và cuộc sống thuộc [Bài tập cuối chương 8 trong CHƯƠNG VIII: TAM GIÁC thuộc PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG - HÌNH HỌC PHẲNG của sách Toán 7 tập 2 bộ Chân trời sáng tạo]. Nội dung chi tiết bài giải mời bạn đọc tham khảo dưới đây:
MỤC LỤC
Bài 1 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A ( $\widehat{A}$ < 90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng ∆BEC = ∆CFB.
b) Chứng minh rằng ∆AHF = ∆AHE.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Lời giải tham khảo:
a) Ta có ∆ABC cân tại A
⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ và AB = AC
⇒ $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$
BE và CF là hai đường cao của ∆ABC
⇒ ∆BEC và ∆CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F.
Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CFB vuông tại F có:
BC chung
$\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$
⇒ ∆BEC = ∆CFB (góc nhọn và một cạnh góc vuông)
b) Theo a ta có: ∆BEC =∆CFB
⇒ EC = FB
Ta có AF = AB - FB, AE= AC - EC mà AB = AC, EC = FB
⇒ AF = AE
BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H
⇒ ∆AFH và ∆AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E.
Xét ∆AFH vuông tại F và ∆AEH vuông tại E có:
AH chung
AF = AE
⇒ ∆AFH = ∆AEH (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).
c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong ∆ABC
⇒ H là trực tâm của ∆ABC
⇒ AH ⊥ BC (1)
Ta có I là trung điểm của BC
⇒ AI là đường trung tuyến của ∆ABC
Xét ∆ABI và ∆ACI có:
AB = AC
AI chung
IB = IC (I là trung điểm của BC)
⇒ ∆ABI = ∆ACI (c.c.c)
⇒ $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AIB}$
Ta có $\widehat{AIC}$ + $\widehat{AIB}$ = 180°
⇒ 2$\widehat{AIB}$ = 180°
⇒ $\widehat{AIB}$ = 90°
⇒ AI ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A, I, H thẳng hàng.
Bài 2 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.
a) Chứng minh tam giác ABM cân.
b) Chứng minh rằng ∆ABC = ∆MBC.
Lời giải tham khảo:
a) Có AH là đường cao của ∆ABC
⇒ AH ⊥ BC
⇒ AM ⊥ BH
⇒ ∆BHA và ∆AHM là 2 tam giác vuông tại H
Xét ∆BHA và ∆BHM cùng vuông tại H có :
BH chung
AH = HM
⇒ ∆BHA = ∆BHM (hai cạnh góc vuông)
⇒ BA = BM
⇒ ∆ABM cân tại B.
b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM
⇒ $\widehat{ABH}$ = $\widehat{MBH}$
⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$
Xét ∆ABC và ∆MBC có :
BC chung
$\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$
AB = BM
⇒ ∆ABC = ∆MBC (c.g.c)
Bài 3 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB , AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC.
a) Chứng minh AC = AD.
b) Chứng minh rằng $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BAH}$.
Lời giải tham khảo:
a)Ta có AH là đường cao của ∆ABC
⇒ ∆AHD và ∆AHC là 2 tam giác vuông tại H
Xét ∆AHD và ∆AHC cùng vuông tại H có :
AH chung
HD = HC
⇒ ∆AHD và ∆AHC (hai cạnh góc vuông)
⇒ AC = AD
b) ∆ABC vuông tại A
⇒ $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$= 90°
∆ABH vuông tại H
⇒ $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HAB}$= 90°
⇒ $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$
Ta có AC = AD ⇒ ∆ACD cân tại A
⇒ $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ADC}$ mà $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$
⇒ $\widehat{ADB}$ = $\widehat{HAB}$.
Bài 4 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN (E thuộc AN).
a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.
c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.
Lời giải tham khảo:
a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:
AB = BN
BE chung
⇒ ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).
⇒ $\widehat{ABE}$ = $\widehat{NBE}$
⇒ BE là tia phân giác của góc ABN.
b) Xét ∆ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K
Bài 5 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.
a) Chứng minh rằng $\widehat{BMN}$ = $\widehat{HAC}$.
b) Kẻ MI ⊥ AH (I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với bM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.
Lời giải tham khảo:
a) M, N thuộc đường trung trực của BC
⇒ MB = MC, NB = NC
⇒ ∆MBC cân tại M, N là trung điểm của BC
⇒ MN là đường trung tuyến của ∆MBC cân tại M
Xét ∆MBN và ∆MCN có :
MB = MC
BN = NC
MN chung
⇒ ∆MBN = ∆MCN ( c.c.c)
⇒ $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$
Ta có ∆AHC vuông góc tại H
⇒ $\widehat{HAC}$ + $\widehat{HCA}$ = 90°
⇒ $\widehat{MCN}$ + $\widehat{HAC}$ = 90° (1)
∆MNC vuông góc tại N (MN là đường trung trực của BC)
⇒ $\widehat{MCN}$ + $\widehat{NMC}$ = 90° mà $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$
⇒ $\widehat{MCN}$ +$\widehat{HAC}$ = 90° (2)
Từ (1) và (2) ta có : $\widehat{HAC}$ = $\widehat{BMN}$
b) Kẻ MI ⊥ AH, AH ⊥ BC
⇒ IM // BC
⇒ $\widehat{IMB}$ = $\widehat{MBC}$ (2 góc so le trong) và $\widehat{AMI}$ = $\widehat{MCB}$ (2 góc đồng vị)
Bài 6 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD.
a) Chứng minh rằng ∆MFN = ∆PFD.
b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của HG. Gọi K là trung điểm của PD. Chứng minh rằng 3 điểm M, H, K thẳng hàng.
Lời giải tham khảo:
a) ME, NF là trung tuyến của ∆MNP
⇒ E là trung điểm của PN, F là trung điểm của PM
Xét ∆ MFN và ∆ PFD có
FN = FD
$\widehat{MFN} = \widehat{PFD}$ (2 góc đối đỉnh)
FM = FP (F là trung điểm của PM)
⇒ ∆MFN = ∆PFD (c.g.c).
b) Trong ∆MNP các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G.
⇒ G là trọng tâm của ∆MNP
⇒ FG = $\frac{1}{3}$ FN mà FG = FH ( F là trung điểm của HG); FN = FD
⇒ FH = $\frac{1}{3}$ FD
⇒ DH = $\frac{2}{3}$ FD
Xét ∆PDM có: DH = $\frac{2}{3}$ FD mà FD là đường trung tuyến của ∆PDM
⇒ H là trọng tâm của ∆PDM
⇒ MH là đường trung tuyến của ∆PDM (1)
Ta có K là trung điểm của PD
⇒ MK là đường trung tuyến của ∆PDM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ M, H, K thẳng hàng.
Bài 7 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = $\frac{1}{2}$ AC, AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (D thuộc BC). Gọi E là trung điểm của AC.
a) Chứng minh rằng DE = DB.
b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.
c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ CK.
Lời giải tham khảo:
a) Xét ∆ABD và ∆AED có
AD chung
$\widehat{BAD}$ = $\widehat{EAD}$ ( AD là đường phân giác)
AB = AE
⇒ ∆ ABD = ∆ AED (c.g.c)
⇒ BD = ED
b) Theo a: ∆ ABD = ∆ AED
=>$\widehat{DBA}$ = $\widehat{DEA}$
Ta có:
$\widehat{DBK}$ + $\widehat{DBA}$ = 180°
$\widehat{DEC}$ + $\widehat{DEA}$ = 180°
$\widehat{DBA}$ = $\widehat{DEA}$
⇒ $\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$
Xét ∆CDE và ∆KDB có:
$\widehat{KDB}$ = $\widehat{CDE}$ ( 2 góc đối đỉnh)
Ta có: ∆CDE = ∆KDB nên EC = KB mà E là trung điểm của AC
⇒ EC = AE = $\frac{1}{2}$ AC mà AB = $\frac{1}{2}$ AC
⇒ KB = AB mà A, B, K thẳng hàng
⇒ B là trung điểm của AK
c) B là trung điểm của AK
=>AB = $\frac{1}{2}$ AK mà AB = $\frac{1}{2}$ AC
⇒ AK = AC
Xét ∆KAH và ∆CAH có:
AK = AC
$\widehat{KAH}$ = $\widehat{CAH}$ (AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$)
AH chung
⇒ ∆KAH = ∆CAH (c.g.c)
⇒ $\widehat{AHK}$ = $\widehat{AHC}$ mà $\widehat{AHK}$ + $\widehat{AHC}$ = 180°
⇒ 2$\widehat{AHC}$ = 180°
⇒ $\widehat{AHC}$ = 90°
⇒ AH ⊥ HC
⇒ AH ⊥ CK.
Bài 8 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Ở hình 1, cho biết AE = AF và $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC
Lời giải tham khảo:
Ta có: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$
⇒ ∆ ABC cân tại A
⇒ AB = AC
⇒ A thuộc đường trung trực của BC (1)
Ta có: FC = AC - AF, EB = AB - AE mà AB = AC, AE= AF
⇒ FC = CB
Xét ∆ FCB và ∆ EBC có:
BC chung
$\widehat{FCB} = \widehat{EBC}$
FC = CB (cmt)
⇒ ∆FCB = ∆EBC (c.g.c)
⇒ $\widehat{FBC} = \widehat{ECB}$
⇒ ∆HCB cân tại H
⇒ HC = HB
⇒ H thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AH là đường trung trực của BC.
Bài 9 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H thuộc CM). Trên tia đối của HC lấy điểm E sao cho HE = HM.
a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.
b) Chứng minh rằng $\widehat{EBH}$ = $\widehat{ACM}$.
c) Chứng minh rằng EB ⊥ BC.
Lời giải tham khảo:
a) Vì BH ⊥ CM
⇒ ∆BHM và ∆BHE là 2 tam giác vuông tại H
Xét ∆BHM và ∆BHE cùng vuông tại H có:
BH chung
HM = HE
⇒ ∆BHM = ∆BHE (hai cạnh góc vuông)
⇒ MB = BE
⇒ ∆MBE cân tại B
b) Xét ∆CAM vuông tại A
⇒ $\widehat{MCA} + \widehat{CMA}$ = 90°
Xét ∆BHE vuông tại H
⇒ $\widehat{HBE} + \widehat{BEH}$ = 90° mà $\widehat{HMB}$ = $\widehat{BEH}$ (∆MBE cân tại B), $\widehat{HMB} = \widehat{CMA}$ (2 góc đối đỉnh)
⇒ $\widehat{ACM} = \widehat{HBE}$
c) Vì ∆BHM = ∆BHE
⇒ $\widehat{HBM} = \widehat{HBE}$
Ta có$ \widehat{HBM} + \widehat{HBE} = \widehat{MBE}$
Bài 10 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Trên đường thẳng a lấy 3 điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.
Lời giải tham khảo:
Ta có đường thẳng b⊥a tại J
⇒ MJ IK
⇒ MJ là đường cao của ∆ IMK
Vì IN ⊥ MK
⇒ IN là đường cao của ∆IMK
Xét ∆IMK có: MJ, IN là 2 đường cao giao nhau tại N