Bài 1 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A ( $\widehat{A}$ < 90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆BEC = ∆CFB.

b) Chứng minh rằng ∆AHF = ∆AHE.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải tham khảo:

a) Ta có ∆ABC cân tại A 

⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ và AB = AC

⇒ $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

BE và CF là hai đường cao của ∆ABC

⇒ ∆BEC và  ∆CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F.

Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CFB vuông tại F có:

• BC chung
• $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

⇒ ∆BEC = ∆CFB (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

b) Theo a ta có: ∆BEC =∆CFB

⇒ EC = FB 

Ta có AF = AB - FB, AE= AC - EC mà AB = AC, EC = FB

⇒ AF = AE

BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H

⇒ ∆AFH và  ∆AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E.

Xét ∆AFH vuông tại F và  ∆AEH vuông tại E  có: 

• AH chung
• AF = AE

⇒ ∆AFH = ∆AEH (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong ∆ABC

⇒ H là trực tâm của ∆ABC

⇒ AH ⊥ BC (1)

Ta có I là trung điểm của BC

⇒ AI là đường trung tuyến của ∆ABC

Xét  ∆ABI và  ∆ACI  có: 

• AB = AC
• AI chung 
• IB = IC (I là trung điểm của BC)

⇒ ∆ABI =  ∆ACI (c.c.c)

⇒ $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AIB}$

Ta có $\widehat{AIC}$ + $\widehat{AIB}$ = 180°

⇒ 2$\widehat{AIB}$ = 180°

⇒ $\widehat{AIB}$ = 90°

⇒ AI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A, I, H thẳng hàng.

Bài 2 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng ∆ABC = ∆MBC.

Lời giải tham khảo:

a) Có AH là đường cao của ∆ABC

⇒ AH ⊥ BC 

⇒ AM ⊥ BH

⇒ ∆BHA và ∆AHM là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆BHA và ∆BHM cùng vuông tại H có :

• BH chung
• AH = HM

⇒ ∆BHA = ∆BHM (hai cạnh góc vuông)

⇒ BA = BM 

⇒ ∆ABM cân tại B.

b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM 

⇒ $\widehat{ABH}$ = $\widehat{MBH}$ 

⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$

Xét ∆ABC và ∆MBC có :

• BC chung
• $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$
• AB = BM

⇒ ∆ABC = ∆MBC (c.g.c)

Bài 3 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB , AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC.

a) Chứng minh AC = AD.

b) Chứng minh rằng   $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BAH}$.

Lời giải tham khảo:

a)Ta có AH  là đường cao của ∆ABC

⇒ ∆AHD và ∆AHC là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆AHD và ∆AHC cùng vuông tại H có :

•  AH chung
•  HD = HC

⇒ ∆AHD và ∆AHC (hai cạnh góc vuông)

⇒ AC = AD

b) ∆ABC vuông tại A 

⇒ $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$= 90°

∆ABH vuông tại H 

⇒ $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HAB}$= 90°

⇒ $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

Ta có AC = AD ⇒ ∆ACD cân tại A

⇒  $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ADC}$ mà $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

⇒ $\widehat{ADB}$ = $\widehat{HAB}$.

Bài 4 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN (E thuộc AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Lời giải tham khảo:

a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:

• AB = BN 
• BE chung

⇒ ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

⇒ $\widehat{ABE}$ = $\widehat{NBE}$ 

⇒ BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Xét ∆ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K

⇒ K là trực tâm ∆ABN

⇒ NK ⊥ AB mà AC ⊥ AB

⇒ NK // AC.

c) Xét ∆FBN và ∆FBA có :

•  BN = BA
•  $\widehat{NBF}$ = $\widehat{ABF}$ (chứng minh trên)
•  BF chung

⇒ ∆FBN và ∆FBA (c.g.c) mà ∆FBA vuông tại A

⇒ ∆FBN vuông tại N

⇒ BN ⊥ FN 

⇒ BN ⊥ GN

⇒ ∆BNG vuông tại N

Xét 2 tam giác vuông ∆BNG và ∆BAC có

• BN = BA
• $\widehat{ABN$ chung

⇒ ∆BNG = ∆BAC (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

⇒ BG = BC

⇒ ∆BCG cân tại B.

Bài 5 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{HAC}$.

b) Kẻ MI ⊥ AH (I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với bM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải tham khảo:

a) M, N thuộc đường trung trực của BC

⇒ MB = MC, NB = NC

⇒ ∆MBC cân tại M, N là trung điểm của BC

⇒ MN là đường trung tuyến của ∆MBC cân tại M

Xét ∆MBN  và ∆MCN có :

• MB = MC
• BN = NC
• MN chung

⇒ ∆MBN  = ∆MCN ( c.c.c)

⇒ $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

Ta có ∆AHC vuông góc tại H

⇒ $\widehat{HAC}$ + $\widehat{HCA}$ = 90° 

⇒ $\widehat{MCN}$ + $\widehat{HAC}$ = 90° (1)

∆MNC vuông góc tại N (MN là đường trung trực của BC)

⇒  $\widehat{MCN}$ + $\widehat{NMC}$ = 90° mà  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

⇒ $\widehat{MCN}$ +$\widehat{HAC}$ = 90° (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\widehat{HAC}$ = $\widehat{BMN}$

b) Kẻ MI ⊥ AH, AH ⊥ BC

⇒ IM // BC

⇒ $\widehat{IMB}$ = $\widehat{MBC}$ (2 góc so le trong) và $\widehat{AMI}$ = $\widehat{MCB}$ (2 góc đồng vị)

Mà ∆MBC cân tại M 

⇒ $\widehat{MBC}$  =  $\widehat{MBC}$ 

⇒ $\widehat{IMB}$ = $\widehat{AMI}$ 

Xét ∆MIK và ∆MIA cùng vuông tại I có :

• MI chung
• $\widehat{IMK}$ = $\widehat{AMI}$ (chứng minh trên)

⇒ ∆MIK = ∆MIA (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

⇒ IK = IA

⇒ I là trung điểm của AK.

Bài 6 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD.

a) Chứng minh rằng ∆MFN = ∆PFD.

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của HG. Gọi K là trung điểm của PD. Chứng minh rằng 3 điểm M, H, K thẳng hàng.

Lời giải tham khảo:

a) ME, NF là trung tuyến của ∆MNP

⇒ E là trung điểm của PN, F là trung điểm của PM

Xét ∆ MFN và  ∆ PFD có

• FN = FD
• $\widehat{MFN} =  \widehat{PFD}$ (2 góc đối đỉnh)
• FM = FP (F là trung điểm của PM)

⇒  ∆MFN = ∆PFD (c.g.c).

b) Trong ∆MNP các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G.

⇒ G là trọng tâm của ∆MNP

⇒ FG = $\frac{1}{3}$ FN mà FG = FH ( F là trung điểm của HG); FN = FD

⇒ FH = $\frac{1}{3}$ FD 

⇒ DH = $\frac{2}{3}$ FD

Xét ∆PDM có:  DH = $\frac{2}{3}$ FD mà FD là đường trung tuyến của ∆PDM

⇒ H là trọng tâm của ∆PDM

⇒ MH là đường trung tuyến của ∆PDM (1)

Ta có K là trung điểm của PD

⇒ MK là đường trung tuyến của ∆PDM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ M, H, K thẳng hàng.

Bài 7 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A có  AB = $\frac{1}{2}$ AC, AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (D thuộc BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ CK.

Lời giải tham khảo:

a) Xét ∆ABD và  ∆AED có

• AD chung
• $\widehat{BAD}$ =    $\widehat{EAD}$ ( AD là đường phân giác)
• AB = AE 

⇒ ∆ ABD =  ∆ AED (c.g.c)

⇒ BD = ED

b) Theo a: ∆ ABD =  ∆ AED 

=>$\widehat{DBA}$ =  $\widehat{DEA}$ 

Ta có:

• $\widehat{DBK}$ + $\widehat{DBA}$ = 180°
• $\widehat{DEC}$ + $\widehat{DEA}$ = 180°
• $\widehat{DBA}$ =  $\widehat{DEA}$ 

⇒ $\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$

Xét ∆CDE và  ∆KDB có:

• $\widehat{KDB}$ =    $\widehat{CDE}$ ( 2 góc đối đỉnh)
• DE = DB (cmt)
• $\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$ (chứng minh trên)

⇒  ∆CDE =  ∆KDB (g.c.g)

⇒ DC = DK

⇒ ∆DCK cân tại D

Ta có: ∆CDE = ∆KDB nên EC = KB mà E là trung điểm của AC 

⇒ EC = AE = $\frac{1}{2}$ AC mà AB = $\frac{1}{2}$ AC

⇒ KB = AB mà A, B, K thẳng hàng

⇒ B là trung điểm của AK

c) B là trung điểm của AK

=>AB = $\frac{1}{2}$ AK mà AB = $\frac{1}{2}$ AC

⇒ AK = AC

Xét ∆KAH và  ∆CAH có:

• AK = AC
• $\widehat{KAH}$ = $\widehat{CAH}$ (AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$)
• AH chung

⇒ ∆KAH =  ∆CAH (c.g.c)

⇒ $\widehat{AHK}$ = $\widehat{AHC}$ mà $\widehat{AHK}$ + $\widehat{AHC}$ = 180°

⇒ 2$\widehat{AHC}$ =  180°

⇒ $\widehat{AHC}$ =  90°

⇒ AH ⊥ HC 

⇒ AH ⊥ CK.

Bài 8 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Ở hình 1, cho biết AE = AF và $\widehat{ABC}$ =  $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC

Lời giải tham khảo:

Ta có: $\widehat{ABC} =  \widehat{ACB}$

⇒ ∆ ABC cân tại A

⇒ AB = AC

⇒ A thuộc đường trung trực của BC (1)

Ta có: FC = AC - AF, EB = AB -  AE mà AB = AC, AE= AF

⇒ FC = CB

Xét ∆ FCB và  ∆ EBC có:

• BC chung
• $\widehat{FCB} =  \widehat{EBC}$
• FC = CB (cmt)

⇒ ∆FCB =  ∆EBC (c.g.c)

⇒ $\widehat{FBC} =  \widehat{ECB}$

⇒ ∆HCB cân tại H

⇒ HC = HB 

⇒ H thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AH là đường trung trực của BC.

Bài 9 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H thuộc CM). Trên tia đối của HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng $\widehat{EBH}$ =  $\widehat{ACM}$.

c) Chứng minh rằng EB ⊥ BC.

Lời giải tham khảo:

a) Vì BH ⊥ CM

⇒ ∆BHM và  ∆BHE là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆BHM và  ∆BHE cùng vuông tại H có: 

• BH chung
• HM = HE

⇒ ∆BHM =  ∆BHE (hai cạnh góc vuông)

⇒ MB = BE

⇒ ∆MBE cân tại B

b) Xét ∆CAM vuông tại A 

⇒ $\widehat{MCA} + \widehat{CMA}$ = 90°

Xét ∆BHE vuông tại H 

⇒ $\widehat{HBE} + \widehat{BEH}$ = 90° mà $\widehat{HMB}$ = $\widehat{BEH}$ (∆MBE cân tại B), $\widehat{HMB} =  \widehat{CMA}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒ $\widehat{ACM} = \widehat{HBE}$

c) Vì ∆BHM = ∆BHE 

⇒ $\widehat{HBM} = \widehat{HBE}$

Ta có$ \widehat{HBM} + \widehat{HBE} = \widehat{MBE}$

⇒ $2\widehat{HBE} = \widehat{MBE}$ 

Ta có CM là đường phân giác của $\widehat{ACB}$

⇒ $\widehat{ACM} = \widehat{MCB} =  \frac{1}{2} \widehat{ACB}$

⇒ $2\widehat{ACM} = \widehat{ACB}$

Xét ∆ABC vuông tại A

⇒  $\widehat{ACB} + \widehat{ABC}$ = 90°

⇒ $2\widehat{ACM} + \widehat{MBC}$ = 90°

⇒ $2\widehat{HBE} + \widehat{MBC}$ = 90°

⇒ $\widehat{MBE} + \widehat{MBC}$ = 90°.

⇒  $\widehat{EBC}$ = 90°

⇒ EB ⊥ BC.

Bài 10 trang 84 toán 7 tập 2 Chân trời sáng tạo: Trên đường thẳng a lấy 3 điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Lời giải tham khảo:

Ta có đường thẳng b⊥a tại J

⇒ MJ IK

⇒ MJ là đường cao của ∆ IMK

Vì IN ⊥ MK 

⇒ IN là đường cao của ∆IMK

Xét ∆IMK có: MJ, IN là 2 đường cao giao nhau tại N

⇒ N là trực tâm của ∆ IMK 

⇒ KN ⊥ MI.