I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN 

Bất phương trình logarit cơ bản sẽ có dạng :\({{\log }_{a}}x>b\) (hoặc \({{\log }_{a}}x\ge b,{{\log }_{a}}x<b,{{\log }_{a}}x\le b\)) với \((a >0,a\ne 1)\).

Xét bất phương trình có dạng: \({{\log }_{a}}x>b\) 

• Với a > 1: ta có \({{\log }_{a}}x>b\Leftrightarrow x>{{a}^{b}}.\)
• Với 0 < a < 1: ta có \({{\log }_{a}}x > b\Leftrightarrow 0< x < {{a}^{b}}.\)

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để bất phương trình đã cho có nghĩa.

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi như: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình mũ.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để bất phương trình đã cho có nghĩa.

Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, đưa ra điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo tham số m nghiệm của bất phương trình.

Bước 3: Giải điều kiện để tìm và kết luận điều kiện tham số theo yêu cầu đề bài.

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIẢI CÁC DẠNG TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG GẶP

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: \({{\log }_{0,2}}x-{{\log }_{5}}(x-2)< {{\log }_{0,2}}3\)

Lời giải tham khảo:

\({{\log }_{0,2}}x-{{\log }_{5}}(x-2)< {{\log }_{0,2}}3\) (ĐKXĐ: x > 2)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{{{5}^{-1}}}}x-{{\log }_{5}}(x-2) < {{\log }_{{{5}^{-1}}}}3\)

\(\Leftrightarrow -{{\log }_{5}}x-{{\log }_{5}}(x-2) < -{{\log }_{5}}3\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}x+{{\log }_{5}}(x-2) > {{\log }_{5}}3\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x\left( x-2 \right) \right] > {{\log }_{5}}3\)

\(\Leftrightarrow x\left( x-2 \right) >3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 3}\\ {x < - 1} \end{array}} \right.\)

Kết hợp vs ĐKXĐ ta có x > 3.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S=\left( 3;+\infty \right)\).

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình \(1+\log_5(x^2+1)\ge \log_5(mx^2+4x+m)\) nghiệm đúng với mọi x.

Lời giải tham khảo:

ĐKXĐ: \(mx^2+4x+m>0,∀x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m>0}\\ {Δ'=4-m^2<0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow m>2\)

Xét \(1+\log_5(x^2+1)\ge \log_5(mx^2+4x+m)\)

\(\Leftrightarrow \log_55+\log_5(x^2+1)\ge \log_5(mx^2+4x+m)\)

\(\Leftrightarrow 5x^2+5 \ge mx^2+4x+m\)

\(\Leftrightarrow (m-5)^2+4x+m-5 \le 0,∀x\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m-5<0}\\ {Δ'=4-(m-5)^2 \le 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m<5}\\ {-m^2+10m-21 \le 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow m \le 3\)

Kết hợp vs ĐKXĐ ta có \(2< m \le 3\)

Vậy \(2< m \le 3\).