I. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN

Với hai biểu thức A, B mà trong đó B ≥ 0, ta có: \(\sqrt{{{A}^{2}}B}=|A|\sqrt{B}\) 

• Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì \(\sqrt {{A^2}.B} = A\sqrt B\).
• Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì \(\sqrt {{A^2}.B} = - A\sqrt B\).

II. ĐƯA THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn là phép biến đổi ngược của phép đưa thừa số vào trong dấu căn:

• Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì \(A\sqrt{B}=\sqrt{{{A}^{2}}B}\).
• Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì \(A\sqrt{B}=-\sqrt{{{A}^{2}}B}\).

III. KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN

Với các biểu thức A, B mà trong đó A.B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

\(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{|B|}\) 

IV. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU

Định nghĩa biểu thức liên hợp

Hai biểu thức \(\sqrt x + \sqrt y\) và \(\sqrt x - \sqrt y\) được gọi là hai biểu thức liên hợp. 

⇒ Tổng quát: hai biểu thức \(\sqrt[n]{{a + b\sqrt c }}\) và \(\sqrt[n]{{a - b\sqrt c }}\) trong đó a, b, c là các biểu thức được gọi là hai biểu thức liên hợp bậc n.

Trục căn thức ở mẫu

Với các biểu thức A, B mà trong đó B > 0 , ta có:

\(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\) 

Với các biểu thức A, B, C mà trong đó A ≥ 0, \(A ≠ B^2\), ta có:

• \(\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-{{B}^{2}}}\)
• \(\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-{{B}^{2}}}\) 

Với các biểu thức A, B, C mà trong đó A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ta có:

• \(\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}\)
• \(\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}\)

V. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:3\(\sqrt{2x}\) - 5\(\sqrt{8x}\) + 7\(\sqrt{18x}\) + 28; \(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\); \(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}\)

Lời giải tham khảo:

a) 3\(\sqrt{2x}\) - 5\(\sqrt{8x}\) + 7\(\sqrt{18x}\) + 28

= 3\(\sqrt{2x}\) - 5\(\sqrt{4.2x}\) + 7\(\sqrt{9.2x}\) + 28

= 3\(\sqrt{2x}\) - 5\(\sqrt{4}\)\(\sqrt{2x}\) + 7\(\sqrt{9}\)\(\sqrt{2x}\) + 28

= 3\(\sqrt{2x}\) - 5.2.\(\sqrt{2x}\) + 7.3.\(\sqrt{2x}\) + 28

= 3\(\sqrt{2x}\) - 10.\(\sqrt{2x}\) + 21.\(\sqrt{2x}\) + 28

= 14.\(\sqrt{2x}\) + 28.

b) \(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\) 

= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5}).(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}\)

= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}\)

= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{6-5}\)

= \(\frac{2(\sqrt{6}+ \sqrt{5})}{1}\)

= 2(\(\sqrt{6}+ \sqrt{5})\).

c) \(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}\) 

= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7}).(\sqrt{10}+ \sqrt{7})}\)

= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2}\)

= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{10-7}\)

= \(\frac{3(\sqrt{10}- \sqrt{7})}{3}\)

= \(\sqrt{10}- \sqrt{7}\).