I. HÌNH TAM GIÁC LÀ GÌ?

Hình tam giác là một loại hình cơ bản trong hình học, là hình có ba đỉnh được tạo bởi ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh của hình tam giác là ba đoạn thẳng được nối giữa các đỉnh với nhau. 

Tính chất hình tam giác bao gồm:

• Tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180°.
• Số đo góc ngoài bằng tổng số đo của 2 góc trong không kề với nó.
• Trong một tam giác tổng độ dài 2 cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại, hiệu độ dài 2 cạnh bất kì luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

• Hai tam giác bằng nhau là 2 tam giác có các cạnh và các góc của chúng tương ứng bằng nhau.

Các dạng hình tam giác là:

• Tam giác nhọn là tam giác có 3 góc trong của nó có số đo nhỏ hơn 90°. 
• Tam giác tù là tam giác có một góc bất kỳ trong tam giác có số đo lớn hơn 90° và một tam giác tù sẽ chỉ có 1 góc tù duy nhất.
• Tam giác vuông là tam giác có 1 góc trong bằng 90° (1 góc vuông) và có hai góc nhọn còn lại phụ nhau.
• Tam giác cân là tam giác hai cạnh của nó có độ dài bằng nhau.
• Tam giác đều là tam giác có ba cạnh của chúng có độ dài bằng nhau.
• Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông của nó bằng nhau hay tam giác cân có một góc vuông.

II. CÔNG THỨC TÍNH CHU VI HÌNH TAM GIÁC

Chu vi hình tam giác bằng tổng độ dài các đường bao quanh hình tam giác đó:

P = a + b +c

Trong đó:

• P: Chu vi của hình tam giác.

• a, b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.

III. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

Có 5 cách tính diện tích hình tam giác: Sử dụng công thức chung, tính diện tích hình tam giác khi biết một góc, tính diện tích hình tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron, tính diện tích hình tam giác bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R), tính diện tích hình tam giác bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r).

Công thức chung:

Diện tích của hình tam giác được tính bằng tích độ dài chiều cao hình tam giác nhân với cạnh đáy tương ứng với chiều cao đó rồi chia 2:

$$S = {a.h\over 2}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.

• a: Cạnh đáy tương ứng của hình tam giác.

• h: Chiều cao của hình tam giác.

Tính diện tích hình tam giác khi biết một góc trong tam giác:

Diện tích của hình tam giác được tính bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác:

\(S = {1\over 2}.a.b.\sin C\)
\(S ={1\over 2}.a.c.\sin B\)
\(S ={1\over 2}.b.c.\sin A\)

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.

• a, b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• A, B, C: Các góc của hình tam giác.

Tính diện tích hình tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron:

Diện tích hình tam giác khi biết 3 cạnh ta sử dụng công thức Heron đã được chứng minh:

$$S = \sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.

• a, b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• p: Nửa chu vi của hình tam giác.

Tính diện tích hình tam giác bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R):

Diện tích tam giác khi đường tròn ngoại tiếp tam giác có bán kính (R) bằng tích độ dài các cạnh của hình tam giác chia cho 4 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R) hoặc bằng 2 lần bình phương bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R) nhân với sin các góc trong tam giác:

$$S = {a.b.c \over 4.R}$$

hay

S = 2 x R² x sinA x sinB x sinC

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.

• a, b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• A, B, C: Các góc của hình tam giác.
• R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tính diện tích hình tam giác bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r):

Diện tích tam giác khi đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính (r) bằng tích độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r) với nửa chu vi của hình tam giác:

S = r x p

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.

• r: Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

• p: Nửa chu vi của hình tam giác.

Đối với các dạng hình tam giác đặc biệt ví dụ tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân ngoài những cách tính trên còn có các cách tính diện tích riêng.

Diện tích tam giác vuông

Áp dụng công thức chung tính diện tích cho diện tích tam giác vuông thì chiều cao là 1 trong 2 cạnh góc vuông và cạnh đáy là cạnh góc vuông còn lại.

$$S = {a.b\over 2}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác vuông.

• a, b: 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông.

Diện tích tam giác cân

Áp dụng công thức chung tính diện tích cho diện tích tam giác cân được tính bằng tích độ dài chiều cao hình tam giác cân nhân với cạnh đáy rồi chia 2:

$$S = {a.h\over 2}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của tam giác cân.

• a: Cạnh đáy của tam giác cân.

• h: Chiều cao của tam giác cân.

Diện tích tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh của chúng có độ dài bằng nhau, áp dụng định lý Heron ta có công thức tính diện tích tam giác đều:

$$S = {a^2 \sqrt3 \over 4}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của tam giác đều.

• a: Cạnh của tam giác đều.

Diện tích tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông của nó bằng nhau hay tam giác cân có một góc vuông, áp dụng công thức tính diện tích cho diện tích tam giác vuông ta có diện tích tam giác vuông cân:

$$S = {a^2  \over 2}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của tam giác vuông cân.

• a: Cạnh của tam giác vuông cân.

IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC TÍNH CHU VI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

Ví dụ: Cho hình △ABC có độ dài các cạnh của hình tam giác lần lượt là là 8cm, 10cm, 12cm, biết . Tính chu vi và diện tích hình △ABC?

Áp dụng công thức ta có, chu vi △ABC là:

P= 8 + 10 + 12 = 30 (cm)

⇒ nửa chu vi của △ABC là: p = 30 : 2= 15 (cm)

Áp dụng công thức tính diện tích, ta có diện tích  △ABC là:

S² = p x (p - a) x (p - b) x (p - c) = 15 x (15 -8) x (15 -10) x (15 -12)= 1575

⇒ S = \(\sqrt{1575}\) = \(15 \sqrt 7\) (cm²)