‍I. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn (O, R =OA).

II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ?

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó (có thể là 2 đường trung trực) do vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Đường tròn (O, R) ngoại tiếp △ABC có tâm là điểm O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác.

Ngoài ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông ấy.

Ví dụ: Đường tròn (O, R) ngoại tiếp △MNP vuông tại P có tâm là điểm O, là trung điểm của cạnh huyền MN.

Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác do tính chất của tam giác đều.

Ví dụ: Đường tròn tròn ngoại tiếp và nội tiếp △EFG đều có tâm là điểm O vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác.

III. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó (có thể là 2 đường trung trực)

Ngoài ra có 2 cách để xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Cách 1:

Khi biết tọa độ 3 điểm của tam giác, cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

Bước 1: Gọi tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho là O(x, y). Khi đó, ta có OA = OB = OC = R.

Bước 2: Tọa độ tâm O(x, y) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}\). Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm O(x, y) của đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho.

Cách 2:

Bước 1: Thiết lập phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

Bước 2: Giao điểm của hai đường trung trực vừa viết trên chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Cho △ABC với A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC.

Lời giải tham khảo:

Gọi O(x, y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC, ta có:

\(\overrightarrow{OA} = (1-x;2-y)\) ⇒ \(OA= \sqrt{(1-x)^2 + (2-y)^2}\)

\(\overrightarrow{OB} = (-1-x;-y)\) ⇒ \(OB= \sqrt{(-1-x)^2 + y^2}\)

\(\overrightarrow{OC} = (3-x;2-y)\) ⇒ \(OC= \sqrt{(3-x)^2 + (2-y)^2}\)

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC nên ta có:

\(OA=OB=OC⇔\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}⇔\begin{cases}(1-x)^2 + (2-y)^2 =(-1-x)^2 + y^2 \\ (1-x)^2 + (2-y)^2= (3-x)^2 + (2-y)^2 \end{cases}\)

\(⇔\begin{cases}x = 2 \\ y= -1 \end{cases}\)

Tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC là O(2;-1).