I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN LÀ GÌ

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). 

Trong đó:

• x: là ẩn số.
• a, b, c: là những số cho trước gọi là các hệ số.

II. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Công thức nghiệm 

Xét phương trình bậc hai một ẩn: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và có biệt thức Δ = b² - 4ac.

• Nếu Δ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};\) \(x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.\)
• Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép \(x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{2a}.\)
• Nếu Δ < 0: phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Công thức nghiệm thu gọn

Xét phương trình bậc hai một ẩn: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và  b’=2b  có biệt thức Δ’ = b’² – ac.

• Nếu Δ’ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}^{{}}=\frac{-b’+\sqrt{\Delta’ }}{2a};\) \(x_{2}^{{}}=\frac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{2a}.\)
• Nếu Δ’ = 0: phương trình có nghiệm kép \(x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b’}{a}.\)
• Nếu Δ’ < 0: phương trình vô nghiệm.

Phương trình với hai trường hợp đặc biệt

Trường hợp c = 0

Khi đó phương trình có dạng: ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0

Phương trình có nghiệm: \(x_1 = 0; \ x_2 = {-b\over a}\)

Trường hợp b = 0

Khi đó phương trình có dạng: ax² + c = 0 ⇔ \(x^2={-c \over a}\)

• Nếu a, c cùng dấu thì \({-c \over a}< 0\) ⇒ phương trình vô nghiệm.
• Nếu a, c khác dấu thì \({-c \over a} > 0\) ⇒ phương trình có hai nghiệm.

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Ví dụ 1: Giải phương trình sau theo công thức nghiệm: 2x² − 7x + 3 = 0.

Lời giải tham khảo:

2x² − 7x + 3 = 0

Ta có hệ số a = 2, b = −7, c = 3.

⇒ \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -7 \right)}^{2}}-4.2.3=25>0.\)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• \(x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7+\sqrt{25}}{2.2}=3\)
• \(x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7-\sqrt{25}}{2.2}=\frac{1}{2}.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{ \frac{1}{2};3 \right\}.\)