I.  ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ

Định nghĩa

Cho số thực dương a ≠ 1, hàm số \(y={{a}^{x}}\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Đạo hàm hàm số mũ:

• \(\left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}}\).
• \(\left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}\ln a\).
• \(\left( {{a}^{u}} \right)'={{a}^{u}}\ln a.u'\).

II. KHẢO SÁT HÀM SỐ \(y={{a}^{x}}\) 

Chú ý: Đồ thị hàm số \(y={{a}^{x}}\) luôn đi qua điểm (0;1).

Với \(y={{a}^{x}},\left( a>1 \right)\)

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\).

Tập giá trị của hàm số: \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Sự biến thiên của hàm số: \(y'={{a}^{x}}\ln a>0,\forall x\).

Giới hạn đặc biệt của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}a = + \infty .\)

Tiệm cận của hàm số: Trục Ox là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên của hàm số:

Đồ thị của hàm số:

Với \(y={{a}^{x}},\left( 0<a<1 \right)\)

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}.\)

Tập giá trị của hàm số: \(\left( 0;+\infty  \right).\)

Sự biến thiên của hàm số: \(y'={{a}^{x}}\ln a<0,\forall x.\)

Giới hạn đặc biệt của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty ,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{a^x} = 0.\)

Tiệm cận của hàm số: Trục Ox là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên của hàm số:

Đồ thị của hàm số:

Nhận xét: Đồ thị các hàm số \(y={{a}^{x}}\) và \(y={{\log }_{a}}x \left (0< a ≠ 1\right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng

III. TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ MŨ

Với hàm số mũ \(y={{a}^{x}} (a>0, a≠1)\) thì không có điều kiện, nghĩa là tập xác định của nó là \(\mathbb{R}.\)

Nhưng với những hàm hợp như \(y={{a}^{u(x)}} (a>0, a≠1)\) thì tập xác định của nó phụ thuộc vào u(x).

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ HÀM SỐ MŨ

Ví dụ: Tìm tập xác định các hàm số sau: \(y={e}^{\sqrt{x^2-4x+3}}\); \(y={2}^{{3x+2}\over {1-x}}\)

Lời giải tham khảo:

a) \(y={e}^{\sqrt{x^2-4x+3}}\)

Ta có: \({x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 1\\ x > 3 \end{array} \right.\)

⇒ Tập xác định của hàm số là \(D=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)\)

b) \(y={2}^{{3x+2}\over {1-x}}\)

Ta có: 1-x ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

⇒ Tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \1.\)