I. ĐỊNH NGHĨA CỰC TIỂU, CỰC ĐẠI

Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị, giá trị cực đại (cực đại) và giá trị cực tiểu (cực tiểu) gọi chung là cực trị của hàm số.

Xét hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b), (có thể a là −∞, b là +∞) và điểm \(x_0∈(a;b)\).

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho \(f\left (x \right )< f\left( {{x}_{0}} \right),\forall x\in ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h),x\ne {{x}_{0}}\) thì \(f\left( x_0 \right)\) là giá trị cực đại của hàm số.
• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho \(f\left( x \right) >f\left( {{x}_{0}} \right),\forall x\in ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h),x\ne {{x}_{0}}\) thì \(f\left( x_0 \right)\) là giá trị cực tiểu của hàm số.

Chú ý: 

• \(x_0\) được gọi là điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu) của hàm số; \(f(x_0)\) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
• Nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số thì điểm \(x_0; f(x_0)\) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .
• Nếu y = f(x) có đạo hàm trên (a ; b) và đạt cực trị tại \(x_0\) ∈ (a ; b) thì \(f(x_0)'=0\).

II. ĐỊNH LÝ VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

Định lí 1:

Giả sử hàm số  y = f(x) liên tục trên khoảng \(K=({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\) với h>0.

• \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x}} \right) > 0, ∀{x_0}\in ({x_0}−h)\\ f'\left( {{x}} \right) < 0, ∀{x_0}\in ({x_0}+h) \end{array} \right.\) thì \(x_0\) là một điểm cực đại của hàm số.
• \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x}} \right) < 0, ∀{x_0}\in ({x_0}−h)\\ f'\left( {{x}} \right) > 0, ∀{x_0}\in ({x_0}+h) \end{array} \right.\) thì \(x_0\) là một điểm cực tiểu của hàm số.

Định lí 2:

Giả sử hàm số  y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng \(({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)\ (h>0)\):

• \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\ f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \end{array} \right.\) thì \(x_0\) là một điểm cực đại của hàm số.
• \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \end{array} \right.\) thì \(x_0\) là một điểm cực tiểu của hàm số.

III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1) 

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

Bước 2: Tính f′(x), tìm các điểm mà tại đó f′(x) = 0 hoặc không xác định. 

Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số đã cho và kết luận. 

• Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm đó là cực tiểu của hàm số. 
• Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm đó là cực đại của hàm số.

Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2)

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

Bước 2: Tính f′(x), tìm các điểm mà tại đó f′(x) = 0 và kí hiệu \(x_1, x_2,...,x_n\) là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính f′′(x) và \({f}''\left( {{x}_{i}} \right)\).

Bước 4: Dựa và dấu của \({f}''\left( {{x}_{i}} \right)\) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

• Tại các điểm \(x_i\)  mà \({f}''\left( {{x}_{i}} \right)>0\)  thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
• Tại các điểm \(x_i\) mà\({f}''\left( {{x}_{i}} \right)< 0\)  thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

Ví dụ: Tìm các cực trị phương trình hàm số sau: \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x-10\) 

Lời giải tham khảo:

\(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x-10\) (TXĐ: \(D= \mathbb{R}\))

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6x - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = 2 \end{array} \right.\)

Với x = -3 ⇒ y = 71, x = 2 ⇒ y = -54, ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

• Hàm số đạt cực đại tại: \(x = -3, y_{CD} = 71\).
• Hàm số đạt cực tiểu tại: \(x =2, y_{CT} =-54\).