I. TỨ GIÁC NỘI TIẾP LÀ GÌ

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn (hay còn được gọi là tứ giác nội tiếp).

Ví dụ: Đường tròn (O, R) có: tứ giác ABCD nội tiếp, 4 điểm A, B, C, D 

đều nằm trên đường tròn.

Chú ý: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải tứ giác nào cũng có đường tròn ngoại tiếp.

II. ĐỊNH LÝ VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Định lý về tứ giác nội tiếp: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối diện bằng 180°.

Từ định lý trên ta có được định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Ví dụ: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O, R) ⇔ ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn:

• Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°.
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện đỉnh đó.
• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm xác định, điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau.
• Tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông.

Ví dụ: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O, R) vì:

• ∠DAB + ∠BCD = ∠ABC + ∠ADC = 180°.
• Điểm O cách đều 3 đỉnh A, B, C, D.
• ∠DAC = ∠DBC cùng nhìn cạnh DC.
• ∠ABx = ∠ADC.

IV.  BÀI TẬP MINH HỌA TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Ví dụ: Cho hình thang ABCD, (AB / / CD, AB < CD) có ∠C = ∠D = 60°, CD = 2AD. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải tham khảo:

Gọi I là trung điểm CD, ta có IC // AB, IC = AB

⇒ Tứ giác ICBA là hình hành

⇒ BC = AI (1)

Chứng minh tương tự ⇒ AD = BI (2)

Xét ABCD là hình thang có ∠C = ∠D = 60° 

⇒ ABCD là hình thang cân(3).

Từ (1), (2), (3) ⇒ IA = IB = IC = ID hay bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (I).