‍I. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

Đường trung tuyến trong tam giác là đường thẳng nối một đỉnh tam giác với trung điểm của cạnh đối diện nó. Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm.

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường trung tuyến được hạ từ 3 đỉnh A, B, C: AN, CP, BM và chúng giao nhau tại O.

II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

Đường trung tuyến trong tam giác có 3 tính chất:

• Tính chất 1: Ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy với nhau tại 1 điểm.
• Tính chất 2: Giao điểm của ba đường trung tuyến đó gọi là trọng tâm tam giác.
• Tính chất 3: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh tam giác ấy một khoảng bằng ⅔ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường trung tuyến AN, CP, BM và chúng đồng quy tại O, O là trọng tâm △ABC, AO = ⅔ AN, CO = ⅔ CP, BO = ⅔ BM.

Chú ý: Không chỉ ở tam giác thường mà ở dạng tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng có  đường trung tuyến và các tính chất của đường trung tuyến vẫn giữ nguyên.

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Đối với tam giác vuông đường trung tuyến của tam giác bao gồm 3 tính chất đó là:

• Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
• Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:Tam giác △ABC vuông tại B có 3 đường trung tuyến AP, CN, BM trong đó độ dài đường trung tuyến BM = MB = MC = ½ AC

Đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều

Đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác cân hạ từ đỉnh cân xuống cạnh đáy vừa là đường cao, đường trung trực, đường phân giác.

Đường trung tuyến trong tam giác đều hạ 3 đỉnh đều là đường cao, đường trung trực, đường phân giác.

III. CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính qua độ dài các cạnh của hình tam giác ấy bằng định lý Apollonnius:

Trong đó:

• AN, CP, BM: Độ dài đường trung tuyến của △ABC.

• AB, AC, BC: Độ dài các cạnh của △ABC .
  

IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

Ví dụ bài tập: Cho △ABC cân tại A với đường trung tuyến AI, M là trọng tâm △ABC

a) Chứng minh △AIB = △AIC

b) Biết AI = 12cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải tham khảo:

a) Xét △AIB và △AIC ta có:

• DI là cạnh chung
• AB = AC ( △ABC cân tại A )
• IB = IC (AI là đường trung tuyến △ABC)

⇒ △AIB = △AIC (c.c.c)

b) Xét △ABC có AI là đường trung tuyến, M là trọng tâm tam giác

⇒ AM = ⅔ AI theo tính chất đường trung tuyến.

Mà AI = 12cm ⇒ AM = ⅔  x 12 = 8 (cm)

Vậy độ dài đoạn AM là 8cm.