Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tính chất] Tích phân cùng tổng hợp lại các kiến thức về tích phân và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.
MỤC LỤC
I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b], hình phẳng bị giới hạn bởi f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b được gọi là hình thang cong.
Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì ta có thể chứng minh được diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức: \(S=F\left( b \right)-F\left( a \right)\).
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu F(b)−F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b.
Ký hiệu: \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\) ⇒\(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\left. F(x) \right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)}\)
III. TÍCH CHẤT TÍCH PHÂN
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b], c là điểm bất kì thuộc [a; b], ta có tính chất của nguyên hàm là:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số \(x=\varphi \left( t \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ \alpha ;\beta \right]\) sao cho \(\varphi \left( \alpha \right)=a,\varphi \left( \beta \right)=b\) và \(a\le \varphi \left( t \right)\le b\) với mọi \(t\in \left[ \alpha ;\beta \right]\).
Ta có: \(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \varphi \left( t \right) \right)\varphi '\left( t \right)dt}\).
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu \(u=u\left( x \right)\) và \(v=v\left( x \right)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì
\(\int\limits_{a}^{b}{u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}\) =\(\left. \left( u(x)v(x) \right) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\left( x \right)u'\left( x \right)dx}\). hay \(\int\limits_{a}^{b}{udv}=\left. uv \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{vdu}\).
V. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ TÍCH PHÂN
Ví dụ: Tính \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)dx}\).