I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b], hình phẳng bị giới hạn bởi f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b được gọi là hình thang cong.

Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì ta có thể chứng minh được diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức: \(S=F\left( b \right)-F\left( a \right)\).

II.  ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu F(b)−F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b. 

Ký hiệu: \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\) ⇒\(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\left. F(x) \right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)}\)

III.  TÍCH CHẤT TÍCH PHÂN

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b], c là điểm bất kì thuộc [a; b], ta có tính chất của nguyên hàm là:

• \(\int\limits_{a}^{b}{kf(x)dx}=k.\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\).
• \(\int\limits_{a}^{b}{\left[ f(x)\pm g(x) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\pm \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}\).
• \(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx}\).

IV.  PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số \(x=\varphi \left( t \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ \alpha ;\beta \right]\) sao cho \(\varphi \left( \alpha \right)=a,\varphi \left( \beta \right)=b\) và \(a\le \varphi \left( t \right)\le b\) với mọi  \(t\in \left[ \alpha ;\beta \right]\). 

Ta có: \(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \varphi \left( t \right) \right)\varphi '\left( t \right)dt}\).

Phương pháp tích phân từng phần

Nếu \(u=u\left( x \right)\) và \(v=v\left( x \right)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì

\(\int\limits_{a}^{b}{u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}\)
=\(\left. \left( u(x)v(x) \right) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\left( x \right)u'\left( x \right)dx}\).
hay \(\int\limits_{a}^{b}{udv}=\left. uv \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{vdu}\).

V. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ TÍCH PHÂN

Ví dụ:  Tính \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)dx}\).

Lời giải tham khảo:

\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)dx}\)

=\(-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)d\left( \frac{\pi }{4}-x \right)}\)

=\(\left. -\left( -\cos \left( \frac{\pi }{4}-x \right) \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=0\)