1. BÀI TẬP 15 TRANG 15 SGK TOÁN 9 TẬP 2:

Giải hệ phương trình 

\(\begin{cases} x+3y=1 \\(a^2+1)x+6y=2a \ \end{cases}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1;    b) a = 0;         c) a=1

Giải:

a) Với a = -1, ta thu được hệ PT:

\(\begin{cases} x+3y=1 \\2x+6y=-2 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x+3y=1 \\x+3y=-1 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=1 -3y\\1 -3y+3y=-1 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=1 -3y\\0y=-2 (vô lý)\ \end{cases}\)

Vậy với a = -1 hệ PT vô nghiệm

‍

b) Với a = 0, ta thu được hệ PT:

\(\begin{cases} x+3y=1 \\x+6y=0 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x+3y=1 \\x=-6y \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} -6y+3y=1 \\x=-6y \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} -3y=1 \\x=-6y \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} y=\dfrac{-1}{3} \\x=-6y \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} y=\dfrac{-1}{3} \\x=-6.(\dfrac{-1}{3})=2 \ \end{cases}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm \((x;y)=(2;\dfrac{-1}{3})\)

‍

c) Với a = 1, ta thu được hệ PT:

\(\begin{cases} x+3y=1 \\2x+6y=2 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x+3y=1 \\x+3y=1 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=1 -3y\\1 -3y+3y=1 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=1 -3y\\0y=0 (luôn đúng)\ \end{cases}\)

Vậy với a = 1 hệ PT vô số nghiệm

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (cac bài 16 và 17)

Gợi ý:

Để giải hệ PT bậc nhất 2 ẩn theo phương pháp thế, ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Từ 1 phương trình bất kì trong hệ, ta rút ẩn x hoặc y theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình còn lại để thu được phương trình mới chứa 1 ẩn.
• Bước 2: giải PT 1 ẩn vừa thu được, sau đó thay giá trị vừa tìm vào biểu thức ẩn rút ra từ bước 1.

2. BÀI TẬP 16 TRANG 16 SGK TOÁN 9 TẬP 2:

a) \(\begin{cases} 3x-y=5 \\5x+2y=23 \ \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 3x+5y=1 \\2x-y=-8 \ \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} \dfrac{x}{y}= \dfrac{2}{3}\\x+y-10=0 \ \end{cases}\)

Giải:

a) \(\begin{cases} 3x-y=5 \\5x+2y=23 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} y=3x-5 \\5x+2y=23 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} y=3x-5 \\5x+2(3x-5)=23 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} y=3x-5 \\5x+6x-10=23 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} y=3x-5 \\11x=33 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=3 \\y=3.3-5=4 \ \end{cases}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y)=(3;4).

‍

b) \(\begin{cases} 3x+5y=1 \\2x-y=-8 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 3x+5y=1 \\y=2x+8 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 3x+5(2x+8)=1 \\y=2x+8 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 3x+10x+40=1 \\y=2x+8 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 13x=-39 \\y=2x+8 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=-3\\y=2x+8 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=-3\\y=2.(-3)+8=2 \ \end{cases}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y)=(-3;2).

‍

c) \(\begin{cases} \dfrac{x}{y}= \dfrac{2}{3}\\x+y-10=0 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 3x=2y\\x+y=10 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 3x=2y\\y=10-x \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 3x=2(10-x)\\y=10-x \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 3x=20-2x\\y=10-x \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 5x=20\\y=10-x \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=4\\y=10-x \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x=4\\y=10-4=6 \ \end{cases}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y)=(4;6).

3. BÀI TẬP 17 TRANG 16 SGK TOÁN 9 TẬP 2:

a) \(\begin{cases} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} \ \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5} \\x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10} \ \end{cases}\)

c) \(\begin{cases}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2} \\x+(\sqrt{2}+1)y=1\ \end{cases}\)

Giải:

a) \(\begin{cases} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\x=\sqrt{2}-y\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} (\sqrt{2}-y\sqrt{3})\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\x=\sqrt{2}-y\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 2-y\sqrt{6}-y\sqrt{3}=1 \\x=\sqrt{2}-y\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 2-(\sqrt{6}+\sqrt{3})y=1 \\x=\sqrt{2}-y\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases}(\sqrt{6}+\sqrt{3})y=1 \\x=\sqrt{2}-y\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases}y=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \\x=\sqrt{2}-y\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\x=\sqrt{2}-y\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\x=\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\sqrt{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\x=\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}-3}{3} \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\x=\sqrt{2}-\sqrt{2}+1 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\x=1 \ \end{cases}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm \((x;y)=(1;\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3})\)

‍

b) \(\begin{cases} x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5} (1) \\x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10} (2) \ \end{cases}\)

Từ (1), ta có:

\(x=\sqrt{5}+2\sqrt{2}y\)

Thay \(x=\sqrt{5}+2\sqrt{2}y\) vào (2):

\((\sqrt{5}+2\sqrt{2}y)\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\)

⇔ \(\sqrt{10}+4y+y=1-\sqrt{10}\)

⇔ \(5y=1-2\sqrt{10}\)

⇔ \(y=\dfrac{1-2\sqrt{10}}{5}\)

Thay \(y=\dfrac{1-2\sqrt{10}}{5}\) vào \(x=\sqrt{5}+2\sqrt{2}y\), ta có:

\(x=\sqrt{5}+2\sqrt{2}(\dfrac{1-2\sqrt{10}}{5})\)

⇔ \(x=\sqrt{5}+\dfrac{2\sqrt{2}-8\sqrt{5}}{5}\)

⇔ \(x=\dfrac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm 

\((x;y)=(\dfrac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5};\dfrac{1-2\sqrt{10}}{5})\)

‍

c) \(\begin{cases}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2} (1) \\x+(\sqrt{2}+1)y=1 (2)\ \end{cases}\)

Từ (1), ta có:

\(y=(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}\)

Thay \(y=(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}\) vào (2):

\(x+(\sqrt{2}+1)[(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}]=1\)

⇔\(x+x-(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}=1\)

⇔\(x+x-2-\sqrt{2}=1\)

⇔\(2x=3+\sqrt{2}\)

⇔\(x=\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}\)

Thay \(x=\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}\) vào \(y=(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}\), ta có:

\(y=(\sqrt{2}-1)\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\)

⇔\(y=\dfrac{-1}{2}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm \((x;y)=(\dfrac{3+\sqrt{2}}{2};\dfrac{-1}{2})\)

4. BÀI TẬP 18 TRANG 16 SGK TOÁN 9 TẬP 2:

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình

\(\begin{cases} 2x+by=-4 \\bx-ay=-5 \ \end{cases}\)

có nghiệm (1 ; -2).

b) Cũng hỏi như vậy nếu phương trình có nghiệm là \(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}\)

Giải:

a) Thay \(x=1; y=-2\) vào hệ PT ta có:

\(\begin{cases} 2.1+b.(-2)=-4 \\b.1-a.(-2)=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 2-2b=-4 \\b+2a=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 2b=6 \\b+2a=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=3 \\3+2a=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=3 \\a=-4 \ \end{cases}\)

Vậy với a = -4 và b = 3 thì hệ PT có nghiệm (x;y)=(1;-2)

‍

b) Thay \(x=\sqrt{2}-1;y=\sqrt{2}\) vào hệ PT:

⇔ \(\begin{cases} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}=-4 \\b(\sqrt{2}-1)-a\sqrt{2}=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}=-4 \\b(\sqrt{2}-1)-a\sqrt{2}=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b\sqrt{2}=-2-2\sqrt{2} \\b(\sqrt{2}-1)-a\sqrt{2}=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\b(\sqrt{2}-1)-a\sqrt{2}=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=-2-2\sqrt{2} \\b(\sqrt{2}-1)-a\sqrt{2}=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=-2-2\sqrt{2} \\(-2-2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)-a\sqrt{2}=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=-2-2\sqrt{2} \\-2-a\sqrt{2}=-5 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=-2-2\sqrt{2} \\a\sqrt{2}=3 \ \end{cases}\)

⇔ \(\begin{cases} b=-2-2\sqrt{2} \\a=\dfrac{3}{\sqrt{2}}= \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ \end{cases}\)

Vậy với \(a=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) và \(b= -2-2\sqrt{2}\) thì hệ PT có nghiệm \((x;y)=(\sqrt{2}-1;\sqrt{2})\) 

5. BÀI TẬP 19 TRANG 16 SGK TOÁN 9 TẬP 2:

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

\(P(x)=mx^3+(m-2)x^2-(3n-5)x-4n\)

Giải:

Để P(x) chia hết cho đa thức (x +1)

⇔ \(P(-1)=0\)

⇔ \(m(-1)^3+(m-2)(-1)^2-(3n-5).(-1)-4n=0\)

⇔ \(-m+m-2+3n-5-4n=0\)

⇔ \(n=-7\)

Để P(x) chia hết cho đa thức (x -3)

⇔ \(P(3)=0\)

⇔\(m.3^3+(m-2).3^2-(3n-5).3-4n=0\)

⇔\(27m+9(m-2)-(3n-5).3-4n=0\)

⇔\(27m+9m-18-9n+15-4n=0\)

⇔\(36m-13n=3\)

Thay n = -7 vào \(36m-13n=3\), có:

\(36m-13.(-7)=3\)

⇔ \(36m=-88\)

⇔ \(m=\dfrac{-22}{9}\)

Vậy \(m=\dfrac{-22}{9}\); n = -7 thì thỏa mãn yêu cầu đầu bài