Câu 22: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: (Trang 19 sgk toán lớp 9 tập 2)

a) \(\left\{\begin{matrix}-5x+2y=4 & \\ 6x-3y=-7 & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix}2x-3y=11 & \\ -4x+6y=5 & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix}3x-2y=10 & \\ x-\frac{2}{3}y=3\frac{1}{3} & \end{matrix}\right.\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\left\{\begin{matrix}-5x+2y=4 & \\ 6x-3y=-7 & \end{matrix}\right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}-15x+6y=12 (1) & \\ 12x-6y=-14 (2) & \end{matrix}\right.\)

Cộng hai phương trình (1) với phương trình (2) ta được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}-3x=-2 & \\ 12x-6y=-14 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{2}{3} & \\ 12x-6y=-14 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{2}{3} & \\ 12\frac{2}{3}-6y=-14 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{2}{3} & \\ 8-6y=-14 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{2}{3} & \\ 6y=22 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{2}{3} & \\ y=\frac{22}{6}=\frac{11}{3} & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(\left ( \frac{2}{3};\frac{11}{3} \right )\).

b) \(\left\{\begin{matrix}2x-3y=11 (1) & \\ -4x+6y=5 (2) &\end{matrix}\right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với -2 ta được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}-4x+6y=-22 & \\ -4x+6y=5 & \end{matrix}\right.\)

Trừ phương trình (1) cho phương trình (2) ta được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}0x+0y=-27 & \\ -4x+6y=5 & \end{matrix}\right.\)

Ta thấy phương trình 0x + 0y = −27 là vô lý.

⇒ Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) \(\left\{\begin{matrix}3x-2y=10 & \\ x-\frac{2}{3}y=3\frac{1}{3} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-2y=10 & \\ x-\frac{2}{3}y=\frac{10}{3} & \end{matrix}\right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 3 ta được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}3x-2y=10 & \\ 3x-2y=10 & \end{matrix}\right.\)

Trừ phương trình (1) cho phương trình (2) ta được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}0x-0y=0 & \\ 3x-2y=10 & \end{matrix}\right.\)

Ta thấy phương trình 0x + 0y = 0 luôn đúng với mọi giá trị x;y

⇒ Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Câu 23: Giải hệ phương trình sau: (Trang 19 sgk toán lớp 9 tập 2)

\(\left\{\begin{matrix}(1+\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})y=5 & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3 & \end{matrix}\right.\)

Lời giải tham khảo:

\(\left\{\begin{matrix}(1+\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})y=5 (1) & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3 (2) & \end{matrix}\right.\)

Ta trừ phương trình (1) cho phương trình (2), ta được:

\(\left\{\begin{matrix}[1-\sqrt{2}-(1+\sqrt{2})]y=2 & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(1-\sqrt{2}-1-\sqrt{2})y=2 & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2\sqrt{2}y=2 & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{2}{-2\sqrt{2}} & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{\sqrt{2}} & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{\sqrt{2}} & \\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})\frac{-1}{\sqrt{2}}=3 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{\sqrt{2}} & \\ (1+\sqrt{2})x-\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{\sqrt{2}} & \\ (1+\sqrt{2})x=3+\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{\sqrt{2}} & \\ (1+\sqrt{2})x=\frac{4\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{\sqrt{2}} & \\ x=\frac{4\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\div (1+\sqrt{2}) & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{\sqrt{2}} & \\ x=\frac{4\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2} & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(\left ( \frac{4\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2};\frac{-1}{\sqrt{2}} \right )\).

Câu 24: Giải hệ phương trình sau: (Trang 19 sgk toán lớp 9 tập 2)

a) \(\left\{\begin{matrix}2(x+y)+3(x-y)=4 & \\ (x+y)+2(x-y)=5 & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix}2(x-2)+3(1+y)=-2 & \\ 3(x-2)-2(1+y)=-3 & \end{matrix}\right.\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\left\{\begin{matrix}2(x+y)+3(x-y)=4 & \\ (x+y)+2(x-y)=5 & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} (x+y)=u & \\ (x−y)=v & \end{matrix}\right.\), ta được:

\(\left\{\begin{matrix}2u+3v=4 & \\ u+2v=5 & \end{matrix}\right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình số 2 với 2 ta được sẽ được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}2u+3v=4 (1) & \\ 2u+4v=10 (2) & \end{matrix}\right.\)

Ta trừ phương trình (2) cho phương trình (1), ta được:

\(\left\{\begin{matrix}v=6 & \\ 2u+4v=10 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=6 & \\ 2u+4.6=10 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}v=6 & \\ 2u+24=10 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=6 & \\ 2u=-14 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=6 & \\ u=-7 & \end{matrix}\right.\)

Với \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=6 & \\ u=-7 & \end{matrix}\right.\) ta được hệ phương trình mới:

\(\left\{\begin{matrix}x+y=-7 & \\ x-y=6 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x=-1 & \\ x-y=6 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{-1}{2} & \\ x-y=6 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{-1}{2} & \\ \frac{-1}{2}-y=6 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{-1}{2} & \\ y=\frac{-1}{2}-6 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{-1}{2} & \\ y=\frac{-13}{2} & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(\left ( \frac{-1}{2};\frac{-13}{2} \right )\).

b) \(\left\{\begin{matrix}2(x-2)+3(1+y)=-2 & \\ 3(x-2)-2(1+y)=-3 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-4+3+3y=-2 & \\ 3x-6-2-2y=-3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x+3y-1=-2 & \\ 3x-2y-8=-3 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x+3y=-1 (1) & \\ 3x-2y=5 (2) & \end{matrix}\right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3; nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}6x+9y=-3 & \\ 6x-4y=10 & \end{matrix}\right.\)

Trừ phương trình thứ (1) cho phương trình thứ (2) ta được hệ phương trình:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}13y=-13 & \\ 3x-2y=5 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-1 & \\ 3x-2y=5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-1 & \\ 3x-2.(-1)=5 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-1 & \\ 3x+2=5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-1 & \\ 3x=3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-1 & \\ x=1 & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là (1; −1).

Câu 25: Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0: P(x) = (3m − 5n + 1). x + (4m − n − 10) (Trang 19 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Ta có: P(x) = (3m − 5n + 1). x + (4m − n − 10)

Để P(x) = 0 ⇔ \(\left\{\begin{matrix}3m-5n+1=0 & \\ 4m-n-10=0 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3m-5n=-1 & \\ 4m-n=10 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3m-5n=-1 (1) & \\ 20m-5n=50 (2)& \end{matrix}\right.\)

Ta trừ phương trình (2) cho phương trình (1), ta được:

\(\left\{\begin{matrix}17m=51 & \\ 3m-5n=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=3 & \\ 3m-5n=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=3 & \\ 3.3-5n=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=3 & \\ 9-5n=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=3 & \\ 5n=10 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=3 & \\ n=2 & \end{matrix}\right.\)

Vậy vơi m = 3, n = 2 thì đa thức P(x) = 0.

Câu 26: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: (Trang 19 sgk toán lớp 9 tập 2)

a. A(2; −2); B(−1; 3) 

b. A(−4; −2); B(2; 1) 

c. A(3; −1); B(−3; 2) 

d. A(√3;2); B(0; 2)

Lời giải tham khảo:

a. A(2; −2); B(−1; 3) 

Điểm A thuộc đồ thị hàm số nên ta có: −2 = a.2 + b ⇒ 2a + b = −2.

Điểm B thuộc đồ thị hàm số nên ta có:  3 = a.(−1) + b ⇒ −a + b = 3.

⇒ Ta được hệ phương trình hai ẩn a và b như sau: \(\left\{\begin{matrix}2a+b=-2 & \\ -a+b=3 & \end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình theo quy tắc thế, ta có:

\(\left\{\begin{matrix}2a+b=-2 & \\ -a+b=3 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}2a+a+3=-2 & \\ b=a+3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3a=-2-3 & \\ b=a+3 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3a=-5 & \\ b=a+3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{-5}{3} & \\ b=a+3 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{-5}{3} & \\ b=\frac{-5}{3}+3 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{-5}{3} & \\ b=\frac{4}{3} & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=\frac{-5}{3};b=\frac{4}{3}\)

b. A(−4; −2); B(2; 1) 

Điểm A thuộc đồ thị hàm số nên ta có: −2 = a. (−4) + b ⇒ −4a + b = −2.

Điểm B thuộc đồ thị hàm số nên ta có: 1 = a.2 + b ⇒ 2a + b = 1.

⇒ Ta được hệ phương trình hai ẩn a và b như sau: \(\left\{\begin{matrix}-4a+b=-2 & \\ 2a+b=1 & \end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình theo quy tắc thế, ta có:

\(\left\{\begin{matrix}-4a+b=-2 & \\ 2a+b=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-4a+1-2a=-2 & \\ b=1-2a & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-6a=-3 & \\ b=1-2a & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{-3}{-6} & \\ b=1-2a & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{2} & \\ b=1-2a & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{2} & \\ b=1-2.\frac{1}{2} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{2} & \\ b=1-1=0 & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=\frac{1}{2}\); b = 0.

c. A(3; −1); B(−3; 2) 

Điểm A thuộc đồ thị hàm số nên ta có: −1 = a.3 + b ⇒ 3a + b = −1.

Điểm B thuộc đồ thị hàm số nên ta có: 2 = a.(−3) + b ⇒ −3a + b = 2.

⇒ Ta được hệ phương trình hai ẩn a và b như sau: \(\left\{\begin{matrix}3a+b=-1 & \\ -3a+b=2 & \end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình theo quy tắc cộng đại số, ta có: \(\left\{\begin{matrix}3a+b=-1 & \\ -3a+b=2 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}2b=1 & \\ 3a+b=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=\frac{1}{2} & \\ 3a+b=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=\frac{1}{2} & \\ 3a+\frac{1}{2}=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=\frac{1}{2} & \\ 3a=\frac{-3}{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=\frac{1}{2} & \\ a=\frac{-1}{2} & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=\frac{-1}{2};b=\frac{1}{2}\).

d. A(√3;2); B(0; 2)

Điểm A thuộc đồ thị hàm số nên ta có: \(2=a\sqrt{3}+b\Rightarrow a\sqrt{3}+b=2\).

Điểm B thuộc đồ thị hàm số nên ta có: 2 = a. 0 + b ⇒ b = 2.

⇒ Ta được hệ phương trình hai ẩn a và b như sau: \(\left\{\begin{matrix}b=2 & \\ a\sqrt{3}+b=2 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=2 & \\ a\sqrt{3}+2=2 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=2 & \\ a\sqrt{3}=0 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=2 & \\ a=0 & \end{matrix}\right.\)

Vậy a = 0; b = 2.

Câu 27: Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải: (Trang 19 sgk toán lớp 9 tập 2)

a) \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1 & \\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5 & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2 & \\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1 & \end{matrix}\right.\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1 & \\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5 & \end{matrix}\right.\)

Ta đặt: \(u=\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}\)

⇒ Ta được hệ phương trình hai ẩn u và v như sau:

\(\left\{\begin{matrix}u-v=1 & \\ 3u+4v=5 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 3u+4v=5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 3u+4(u-1)=5 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 3u+4u-4=5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ 7u=9 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=u-1 & \\ u=\frac{9}{7} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{9}{7}-1 & \\ u=\frac{9}{7} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{2}{7} & \\ u=\frac{9}{7} & \end{matrix}\right.\)

Ta có: 

• \(u=\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{9}{7}\Leftrightarrow x=\frac{7}{9}\).
• \(v=\frac{1}{y}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{2}{7}\Leftrightarrow y=\frac{7}{2}\).

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là: \(\left ( \frac{7}{9};\frac{7}{2} \right )\).

b) \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2 & \\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1 & \end{matrix}\right.\)

Ta đặt: \(u=\frac{1}{x-2};v=\frac{1}{y-1}\).

⇒ Ta được hệ phương trình hai ẩn u và v như sau:

\(\left\{\begin{matrix}u+v=2 & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u+2v=4 & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5v=3 & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u-3v=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u-3.\frac{3}{5}=1 & \end{matrix}\right.

\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u-\frac{9}{5}=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u=1+\frac{9}{5} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ 2u=\frac{14}{5} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ u=\frac{14}{10} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{3}{5} & \\ u=\frac{7}{5} & \end{matrix}\right.\)

Ta có:

• \(u=\frac{1}{x-2}\Leftrightarrow \frac{1}{x-2}=\frac{7}{5}\Leftrightarrow x-2=\frac{5}{7}\Leftrightarrow x=\frac{5}{7}+2\Leftrightarrow x=\frac{19}{7}\).
• \(v=\frac{1}{y-1}\Leftrightarrow \frac{1}{y-1}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow y-1=\frac{5}{3}\Leftrightarrow y=\frac{5}{3}+1\Leftrightarrow y=\frac{8}{3}\).

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là: \(\left ( \frac{19}{7};\frac{8}{3} \right )\).