Câu 34: Nhà Lan có một mảnh vườn trồng sau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống rau nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây sau cải bắp? (Trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi số luống rau là x; số cây của mỗi luống là y (x; y > 0).

⇒ Vườn nhà Lan trồng được x.y (cây). 

Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta có phương trình: (x + 8). (y − 3) = x.y − 54

⇔ x.y − 3x + 8y − 24 = xy − 54

⇔ xy − xy − 3x + 8y = −54 + 24

⇔ −3x + 8y = −30 

⇔ 3x − 8y = 30 (1)

Nếu giảm đi 4 luống rau nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây, ta được phương trình: (x − 4).(y + 2) = xy + 32

⇔xy + 2x − 4y − 8 = xy − 32 

⇔ xy − xy + 2x − 4y= 32 + 8

⇔ 2x − 4y = 40

⇔ x − 2y = 20 (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}3x-8y=30 & \\ x-2y=20 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-8y=30 & \\ x=20+2y & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}3(20+2y)-8y=30 & \\ x=20+2y & \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}60+6y-8y=30 & \\ x=20+2y & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2y=30-60 & \\ x=20+2y & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2y=-30 & \\ x=20+2y & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=15 & \\ x=20+2y & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=15 & \\ x=20+2.15 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=15 & \\ x=50 & \end{matrix}\right.\)

Vậy vườn nhà Lan có 50 luống và mỗi luống có 15 cây. 

⇒ Vườn nhà Lan trồng số cây cải bắp là: 15. 50 = 750 (cây).

Câu 35: (Bài toán cổ Ấn Độ) Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá tiền mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi? (Trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi giá tiền mỗi quả thanh yên là x (rupi) (x > 0).

Gọi giá tiền mỗi quả táo rừng thơm là y (rupi) (y > 0).

Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi nên ta có phương trình: 9x + 8y =107 (1) 

Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi nên ta có phương trình: 7x + 7y = 91

⇔ x + y = 13 (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}9x+8y=107 & \\ x+y=13 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}9x+8y=107 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9(13-y)+8y=107 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}117-9y+8y=107 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=117-107 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=10 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=10 & \\ x=13-10 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=10 & \\ x=3 & \end{matrix}\right.\)

Vậy mỗi quả thanh yên có giá 3 rupi còn mỗi quả táo rừng thơm có giá 10 rupi.

Câu 36: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *): Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó. (Trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi số lần bắn ở ô thứ nhất bị mờ là x (x ∈ N)

Gọi số lần bắn ở ô thứ 2 bị mờ là y (y ∈ N) 

Ta có vận động viên đó bắn 100 lần, nên có phương trình: 25 + 42 + x + 15 + y = 100

⇔ x + y + 82 = 100

⇔ x + y = 18 (1) 

Điểm số trung bình của 100 lần bắn là 8,69 nên tổng số điểm sau 100 lần bắn là 8,69.100 = 869 (điểm).

Ta có phương trình: 10. 25 + 9. 42 + 8x + 7. 15 + 6y = 869

⇔ 8x + 6y + 250 + 378 + 105 = 869 

⇔ 8x + 6y + 733 = 869

⇔ 8x + 6y = 869 − 733 

⇔ 8x + 6y = 136

⇔ 4x + 3y = 68 (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}x+y=18 & \\ 4x+3y=68 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=18-x & \\ 4x+3y=68 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}y=18-x & \\ 4x+3(18-x)=68 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=18-x & \\ 4x+54-3x=68 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=18-x & \\ x=68-54 & \end{matrix}\right. \\ \\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=18-x & \\ x=14 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=18-14 & \\ x=14 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=4 & \\ x=14 & \end{matrix}\right.\)

Vậy ô thứ nhất bị mờ là ô số 14 còn ô thứ hai bị mờ là ô số 4.

Câu 37: Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn có đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật. (Trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x và y (cm/s) (ĐKXĐ: x;y > 0)

Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20s chúng lại gặp nhau, nên ta có phương trình: 20. (x−y) = 20π (1)

Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4s chúng gặp nhau, ta có phương trình: 4. (x+y) = 20π (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}20(x-y)=20\pi  & \\ 4(x+y)=20\pi  & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=1\pi  & \\ x+y=5\pi  & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}2x=6\pi  & \\ x+y=5\pi  & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=3\pi  & \\ x+y=5\pi  & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=3\pi  & \\ 3\pi +y=5\pi  & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=3\pi  & \\ y=2\pi  & \end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc của hai vật lần lượt là 3π (cm/s); 2π (cm/s).

Câu 38: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ chảy được \(\frac{2}{15}\) bể. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? (Trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy là x (phút) (x > 0).

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy là y (phút) (y > 0).

Mỗi phút vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.

Cả hai vòi chảy trong 1 gò 20 phút = 80 phút thì đầy bể, mỗi phút cả hai vòi chảy được \(\frac{1}{80}\) bể, ta được phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\) (1).

Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ chảy được \(\frac{2}{15}\) bể, ta có phương trình: \(\frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15}\) (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80} & \\ \frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15} & \end{matrix}\right.\)

Ta đặt: \(\frac{1}{x}=u;\ \frac{1}{y}=v\), ta được hệ phương trình mới sau:

\(\left\{\begin{matrix}u+v=\frac{1}{80} & \\ 10u+12v=\frac{2}{15} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{80}-u & \\ 10u+12v=\frac{2}{15} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{80}-u & \\ 10u+12\left ( \frac{1}{80}-u \right )=\frac{2}{15} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{80}-u & \\ 10u+\frac{3}{20}-12u=\frac{2}{15} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{80}-u & \\ -2u=\frac{2}{15}-\frac{3}{20} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{80}-u & \\ -2u=\frac{-1}{60} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{80}-u & \\ u=\frac{1}{120} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{80}-\frac{1}{120} & \\ u=\frac{1}{120} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{2}{480} & \\ u=\frac{1}{120} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{240} & \\ u=\frac{1}{120} & \end{matrix}\right.\)

Ta có:

• \(\frac{1}{x}=u\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{120}\Leftrightarrow x=120\)
• \(\frac{1}{y}=v\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{240}\Leftrightarrow y=240\)

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 120 phút = 2 giờ còn thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là 240 phút = 4 giờ.

Câu 39: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng? (Trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi số tiền người đó phải trả cho mặt hàng thứ nhất nếu không kể thuế VAT là x (triệu đồng) (x > 0).

Gọi số tiền người đó phải trả cho mặt hàng thứ hai nếu không kể thuế VAT là y (triệu đồng) (y > 0).

Số tiền người đó phải trả cho loại hàng thứ nhất tính cả VAT 10% là \(\frac{110}{100}x=1,1x\).

Số tiền người đó phải trả cho mặt hàng thứ hai tính cả VAT 8% là \(\frac{108}{100}y=1,08y\).

Số tiền phải trả cho cả hai loại hàng là 2,17 triệu đồng, nên ta có phương trình: 1,1x + 1,08y = 2,17 (1)

Số tiền người đó phải trả cho loại hàng thứ nhất tính cả VAT 9% là \(\frac{109}{100}x=1,09x\).

Số tiền người đó phải trả cho loại hàng thứ hai tính cả VAT 9% là \(frac{109}{100}y=1,09y\).

Số tiền phải trả cho cả hai loại hàng là 2,18 triệu đồng, nên ta có phương trình 1,09x + 1,09y = 2,18

⇔ x + y = 2 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}1,1x+1,08y=2,17 & \\ x+y=2 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1,1x+1,08y=2,17 & \\ y=2-x & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1,1x+1,08(2-x)=2,17 & \\ y=2-x & \end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1,1x+2,16-1,08x=2,17 & \\ y=2-x & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0,02x=2,17-2,16 & \\ y=2-x & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0,02x=0,01 & \\ y=2-x & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0,5 & \\ y=2-x & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0,5 & \\ y=2-0,5 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0,5 & \\ y=1,5 & \end{matrix}\right.\)

Vậy số tiền phải trả cho mặt hàng thứ nhất không tính VAT là 0,5 triệu đồng, còn số tiền phải trả cho mặt hàng thứ hai không tính VAT là 1,5 triệu đồng.