Bài 37: Giải phương trình trùng phương: (trang 56 SGK Toán 9 Tập 2)

a) 9x⁴ − 10x² + 1 = 0

b) 5x⁴ + 2x² − 16 = 10 − x²

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0

d) \(2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4\)

Lời giải tham khảo:

a) 9x⁴ − 10x² + 1 = 0 (1) Đặt x² = t (t ≥ 0).

Ta có phương trình (1) ⇔ 9t² – 10t + 1 = 0 (2)

Ta có a = 9; b = -10; c = 1

⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =1 & \\ t_{2} =\frac{c}{a}=\frac{1}{9} & \end{matrix}\right.\) (TMĐK)

Với x² = t = 1 ⇔ x = ± 1.

Với x² = t = \(\frac{1}{9}\) ⇔ x = ± \(\frac{1}{3}\)

Vậy S = { -1, 1, \(\frac{1}{3}\), -\(\frac{1}{3}\)}

b) 5x⁴ + 2x² − 16 = 10 − x² 

⇔ 5x⁴ + 2x² – 16 – 10 + x² = 0

⇔ 5x⁴ + 3x² – 26 = 0 (1) Đặt x² = t (t ≥ 0).

Ta có phương trình (1) ⇔ 5t² + 3t – 26 = 0  (2)

Ta có a = 5 ; b = 3 ; c = -26

⇒ Δ = 3² – 4.5. (-26) = 529 > 0

⇒ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=2 (TMĐK)& \\ t_{2} =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}= \frac{-26}{10} (KTMĐK)& \end{matrix}\right.\) 

Với x² = t = 2 ⇔ x = ± \(\sqrt{2}\).

Vậy S= {± \(\sqrt{2}\)}

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0 (1) Đặt x² = t (t ≥ 0).

Ta có phương trình (1) ⇔ 0,3t² + 1, 8t + 1,5 = 0 (2)

Ta có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5

⇒ a - b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =-1 & \\ t_{2} =\frac{-c}{a}=-5 & \end{matrix}\right.\) (KTMĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

d) \(2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4\) (ĐKXĐ: x ≠ 0)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - {1 \over {{x^2}}} = 0\)

⇔ 2x⁴ + 5x² – 1 = 0 (1) Đặt x² = t (t ≥ 0).

Ta có phương trình (1) ⇔ 2t² + 5t – 1 = 0  (2)

Ta có a = 2 ; b = 5 ; c = -1

⇒ Δ = 5² – 4.2.(-1) = 33 >  0

⇒ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{\sqrt{33}-5}{4} (TMĐK)& \\ t_{2} =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}= \frac{-5-\sqrt{33}}{4} (KTMĐK)& \end{matrix}\right.\) 

Với x² = t = \(\frac{\sqrt{33}-5}{4}\) ⇔ x = ± \({{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2}\).

Vậy S= {± ± \({{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2}\)}

Bài 38: Giải các phương trình: (trang 56-57 SGK Toán 9 Tập 2)

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x

b) x³ + 2x²– (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

d) \(\frac{x(x - 7)}{3} – 1=\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\)

e) \(\frac{14}{x^{2}-9}=1 - \frac{1}{3-x}\)

f)  \(\frac{2x}{x+1}= \frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)

Lời giải tham khảo:

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x

⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 – 3x

⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 + 3x – 23 = 0

⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

Ta có a = 2; b = 5; c = 2

⇒ Δ = 5²– 4.2. 2 = 9 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} =-2 & \\ x_{2} =-\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.\)

b) x³ + 2x²– (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

⇔ x³  + 2x² – (x² – 6x + 9) = x³  – x² – 2x + 2

⇔ x³  + 2x² – x² + 6x – 9 – x³  + x² + 2x – 2 = 0

⇔ 2x² + 8x – 11 = 0.

Ta có a = 2; b = 8; c = -11

⇒ Δ’ = 4² – 2.(-11) = 38 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} ={{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2} & \\ x_{2} ={{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2} & \end{matrix}\right.\)

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ - 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ x³+ 1,5x – x³ + 3x² – 3x + 1 – 0,5x² = 0

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

Ta có a = 2,5; b = -1,5; c = 1

⇒ Δ = (-1,5)² – 4.2,5.1 = -7,75 < 0

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm,

d) \(\frac{x(x - 7)}{3} – 1=\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\)

⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

⇔ 2x²– 14x – 6 = 3x – 2x + 8

⇔ 2x² – 14x – 6 – 3x + 2x – 8 = 0

⇔ 2x² – 15x – 14 = 0.

Ta có a = 2; b = -15; c = -14

⇒  Δ = (-15)² – 4.2.(-14) = 337 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} ={{15 + \sqrt {337} } \over 4} & \\ x_{2} ={{15 - \sqrt {337} } \over 4} & \end{matrix}\right.\)

e) \(\frac{14}{x^{2}-9}=1 - \frac{1}{3-x}\) (ĐKXĐ x ≠ ±3)

⇔ \(\frac{14}{x^{2}-9}=1 + \frac{1}{x- 3}\) 

⇔ 14 = x² − 9 + x + 3

⇔ x² + x – 20 = 0

Ta có a = 1; b = 1; c = -20

⇒  Δ = 1² – 4.1.(-20) = 81 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} =-5 & \\ x_{2} =4 & \end{matrix}\right.\) (TMĐK)

f)  \(\frac{2x}{x+1}= \frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\) (x ≠ −1, x ≠ 4)

⇔ 2x(x−4) = x² − x + 8

⇔ 2x² − 8x − x² + x − 8 = 0

⇔ x² − 7x − 8 = 0

Ta có a= 1, b = -7, c = - 8

⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} =-1 (KTMĐK) & \\ x_{2} =8 (TMĐK) & \end{matrix}\right.\)

Bài 39: Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích: (trang 57 SGK Toán 9 Tập 2)

a) \((3{x^{2}} - 7x-10)[2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 -3] = 0\)

b) x³ + 3x² −2x − 6 = 0 

c) (x² − 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x 

d) (x² + 2x − 5)² = (x² − x + 5)²

Lời giải tham khảo:

a) \((3{x^{2}} - 7x-10)[2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 -3] = 0\)

⇔ \(\left[ \matrix{(3{x^{2}} - 7x-10) = 0(1) \hfill \cr 2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 -3 = 0(2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (1) 3x² − 7x − 10 = 0

Ta có: a – b + c = 3 + 7 -10 = 0

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} =-1 & \\ x_{2} =\frac(10}{3} & \end{matrix}\right.\)

Giải phương trình (2) \(2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 -3\)

Ta có: a + b + c = 2 + \((1 -  \sqrt{5}) +  \sqrt{5}\) - 3 = 0

⇒ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} =1 & \\ x_{2} ={{\sqrt 5  - 3} \over 2} & \end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: S = { -1, 1, \(\frac(10}{3}, {{\sqrt 5  - 3} \over 2}\) }

b) x³ + 3x² −2x − 6 = 0 

⇔ x². (x + 3) - 2.(x + 3) = 0

⇔ (x + 3).(x² - 2) = 0  

⇔ \(\left[ \matrix{x + 3 = 0 \hfill \cr {x^2} - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

⇔ \(\left[ \matrix{x =-3 \hfill \cr x=\pm \sqrt{2} \hfill \cr} \right.\)

c) (x² − 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x 

⇔ (x² − 1)(0,6x + 1) - x(0,6x +1) = 0

⇔  (0,6x + 1).(x² − x − 1) = 0

⇔ \( \left[ \matrix{0,6x +1 = 0 \hfill \cr {x^2}-x-1 = 0 \hfill \cr} \right.\)

⇔ \(\left[ \matrix{x  = \frac{-1}{0,6}=-\frac{5}{3} \hfill \cr {x^2}-x-1 = 0(1) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (1) x² − x − 1 = 0

Ta có: a = 1; b = -1; c = -1 

⇒ Δ = (− 1)² − 4.1. (− 1) = 5 > 0 

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} ={{1 - \sqrt 5 } \over 2} & \\ x_{2} ={{1 + \sqrt 5 } \over 2} & \end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: S = {\({{1 - \sqrt 5 } \over 2} , {{1 + \sqrt 5 } \over 2}, \frac{-5}{3}\)}

d) (x² + 2x − 5)² = (x² − x + 5)²

⇔ (x² + 2x – 5)² – (x² – x + 5)² = 0

⇔ [(x² + 2x – 5) – (x² – x + 5)].[(x²+ 2x – 5) + (x² – x + 5)] = 0

⇔ (3x – 10). (2x² + x) = 0

⇔ (3x – 10).x.(2x + 1) = 0

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=0 \hfill \cr 2x+1=0  \hfill \cr 3x-10=0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=0 \hfill \cr x=\frac{-1}{2}  \hfill \cr x=\frac{10}{3} \hfill \cr} \right.\)

Bài 40: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: (trang 57 SGK Toán 9 Tập 2)

a) 3(x² + x)² − 2(x² + x) − 1 = 0 

b) (x² − 4x + 2)² +  x² − 4x − 4 = 0

c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\)

d) \(\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\)

Lời giải tham khảo:

a) 3(x² + x)² − 2(x² + x) − 1 = 0 

Đặt t = x² + x, ta được phương trình mới như sau:

3t² - 2t -1 = 0 (1) Ta có: a = 3; b = -2; c = -1

⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =1 & \\ t_{2} ={-1 } \over 3} & \end{matrix}\right.\)

Với t = 1, ta có x² + x = 1

⇔ x² + x - 1 = 0 (2)

Ta có: a = 1; b = 1; c = -1

⇒ Δ = (− 1)² − 4.1. (− 1) = 5 > 0 

⇒ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}x_{1} ={{-1 - \sqrt 5 } \over 2} & \\ x_{2} ={{-1 + \sqrt 5 } \over 2} & \end{matrix}\right.\)

Với t = \({-1 } \over 3\), ta có: x² + x = \({-1 } \over 3\)

⇔ x² + x + \({1 } \over 3\) = 0

Ta có: a = 1; b = 1; c = \({1 } \over 3\)

⇒ Δ = 1² - 4. 1. \({1 } \over 3\) = \({-1 } \over 3\) < 0 

⇒ Vô nghiệm.

b) (x² − 4x + 2)² +  x² − 4x − 4 = 0

Đặt t = x² − 4x + 2, ta được phương trình mới như sau:

t² + t – 6 = 0 (1) Ta có: a = 1; b = 1; c = -6

⇒ Δ = 1² – 4.1.(-6) = 25 > 0

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =2 & \\ t_{2} =-3} & \end{matrix}\right.\)

Với t = 1, ta có x² − 4x + 2 = 2

⇔ x² + 4x= 0

⇔ x(x – 4) = 0

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=0 \hfill \cr x=4 \hfill \cr} \right.\)

Với t = -3, ta có: x² − 4x + 2  = -3

⇔ x² − 4x + 5 = 0

Ta có: a = 1; b = -4; c = 5

⇒ Δ = (-4)² - 4. 1. 5 = -4 < 0 

⇒ Vô nghiệm.

c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\)

Đặt \(t = \sqrt{x}\) (ĐKXĐ: t ≥ 0) , ta được phương trình mới như sau:

t² - t = 5t + 7

⇔  t² - 6t - 7 = 0 (1) Ta có: a = 1; b = -6; c = -7

⇒ a - b + c = 0

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =-1 (KTMĐK) & \\ t_{2} =7 (TMĐK) & \end{matrix}\right.\)

Với t = 7, ta có \(\sqrt{x} = 7\)

⇒ x = 49

d) \(\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\) (ĐKXĐ: x ≠ −1, x ≠ 0)

Đặt \(\frac{x}{x+ 1} = t \Rightarrow \frac{x+1}{x}=\frac{1}{t}\) (t  ≠ 0)

Ta được phương trình mới sau: \(t - \frac{10}{t} – 3 = 0\)

⇔  t² - 3t - 10 = 0 (1) Ta có: a = 1; b = -3; c = -10.

⇒ Δ = (-3)² – 4.1.(-10) = 49 > 0

⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là \(\left\{\begin{matrix}t_{1} =5 & \\ t_{2} =-2} & \end{matrix}\right.\) (TMĐK)

Với t = 5 , ta có \(\frac{x}{x+ 1} = 5\)

⇔ x = 5x + 5

⇔ 4x + 5 = 0

⇔ \(x = -\frac{5}{4}\)

Với t = -2, ta có: \(\frac{x}{x+ 1}= -2\)

⇔ x = -2x - 2

⇔ \(x = -\frac{2}{3}\)