Câu 40: Giải các phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được : (Trang 27 sgk toán lớp 9 tập 2)

a) \(\left\{\begin{matrix}2x+5y=2 & \\ \frac{2}{5}x+y=1 & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix}0,2x+0,1y=0,3 & \\ 3x+y=5 & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}x-y=\frac{1}{2} & \\ 3x-2y=1 & \end{matrix}\right.\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\left\{\begin{matrix}2x+5y=2 & \\ \frac{2}{5}x+y=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x+5y=2 & \\ 2x+5y=5 & \end{matrix}\right.\)

Áp dụng quy tắc cộng đại số, ta cộng cả 2 vế của phương trình một và phương trình hai, ta được:

\(\left\{\begin{matrix}0x+0y=-3 & \\ 2x+5y=5 & \end{matrix}\right.\)

⇒ Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Biểu diễn hình học:

Vẽ đường thẳng 2x + 5y = 2:+

• Với y = 0 ⇒ 2x = 2 ⇔ x = 1 ⇒ Điểm A(1; 0) 
• Với y = 1⇒ 2x + 5. 1 = 2 ⇔ 2x = −3 ⇔ x = \(frac{−3}{2}\) ⇒ Điểm B(\(frac{−3}{2}\); 1) 

⇒ Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B vừa tìm được, đó là đường thẳng 2x + 5y = 2.

Vẽ đường thẳng \(\frac{2}{5}x+y=1\):

• Với x = 0 ⇒ y =1 ⇒ Điểm C (0, 1).
• Với y = 0 ⇒ x = \(frac{5}{2}\) ⇒ Điểm D(\(frac{5}{2}\), 0)

⇒ Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm C, D vừa tìm được, đó là đường thẳng \(\frac{2}{5}x+y=1\).

b) \(\left\{\begin{matrix}0,2x+0,1y=0,3 & \\ 3x+y=5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x+y=3 & \\ 3x+y=5 & \end{matrix}\right.\)

Trừ hai vế của phương trình thứ 2 cho phương trình thứ nhất ta được:

\(\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ 3x+y=5 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2 & \\ 3.2+y=5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2 & \\ 6+y=5 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là (2, -1).

Biểu diễn hình học:

Vẽ đường thẳng 0,2x + 0,1y = 0,3

• Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ Điểm E(0, 3)
• Với y = 0 ⇒ x =\(frac{3]{2}\) ⇒ Điểm F(\(frac{3]{2}\), 0)

⇒ Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm E, F vừa tìm được, đó là đường thẳng 0,2x + 0,1y = 0,3.

Vẽ đường thẳng 3x + y = 5 

• Với x = 0 ⇒ y = 5 ⇒ Điểm G(0; 5) 
• Với x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ Điểm H(1; 2) 

⇒ Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm G và H vừa tìm được, đó là đường thẳng 3x + y = 5. 

Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm I(2; −1).

c) \(\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}x-y=\frac{1}{2} & \\ 3x-2y=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-2y=1 & \\ 3x-2y=1 & \end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=1\)

⇒ Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Biểu diễn hình học:

Vẽ đường thẳng 3x - 2y = 1

• Với x = 0 ⇒ y = \(\frac{-1}{2}\) ⇒ Điểm M(0, \(\frac{-1}{2}\))
• Với y = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{3}\) ⇒ Điểm N( \(\frac{1}{3}\), 0)

⇒ Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm M,N vừa tìm được, đó là đường thẳng.

Câu 41 : Giải các hệ phương trình sau : (Trang 27 sgk toán lớp 9 tập 2)

a) \(\left\{\begin{matrix}x\sqrt{5}-(1+\sqrt{3})y=1 & \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1 & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2} & \\ \frac{x}{x+1} + \frac{3y}{y+1} =-1 & \end{matrix}\right.\)

Lời giải tham khảo:

a) \(\left\{\begin{matrix}x\sqrt{5}-(1+\sqrt{3})y=1 & \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}} & \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1 & \end{matrix}\right.\)

Áp dụng quy tắc thế ta được hệ phương trình mới sau: 

\(\left\{\begin{matrix}x =\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}} (1) & \\ (1-\sqrt{3})\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1 (2) & \end{matrix}\right.\)

Giải phương trình (2): \((1-\sqrt{3})\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{3}+ (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}} +\frac{5y}{\sqrt{5}} =1\)

\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})y+5y=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow (1-3)y+5y=\sqrt{5}-1+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow 3y=\sqrt{5}-1+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}\)

Thay \(y=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}\) vào phương trình (1) ta được:

\( x =\frac{1+(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow x =\frac{3+(1+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}-1)}{3\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow x =\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{3}-1+\sqrt{15}+3-\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow x =\frac{5+\sqrt{5}+\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow x =\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3};y=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}\)-

b) \(\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2} & \\ \frac{x}{x+1} + \frac{3y}{y+1} =-1 & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(\frac{x}{x+1}=u;\frac{y}{y+1}=v\), ta được hệ phương trình mới sau:

\(\left\{\begin{matrix}2u+v=\sqrt{2} & \\ u+3v=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2u & \\ u+3v=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} v=\sqrt{2}-2u & \\ u+3(\sqrt{2}-2u)=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2u & \\ u+3\sqrt{2}-6u=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} v=\sqrt{2}-2u & \\ -5u=-1-3\sqrt{2} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2u & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{5\sqrt{2}-2-6\sqrt{2}}{5} & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{-\sqrt{2}-2}{5} & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right.\)

Với \(\frac{x}{x+1}=u\Leftrightarrow \frac{x}{x+1}=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}\)

\(\Leftrightarrow 5x=(x+1)(1+3\sqrt{2})\)

\(\Leftrightarrow 5x=x+3x\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x+3x\sqrt{2}-5x+1+3\sqrt{2}=0 \)

\(\Leftrightarrow x(3\sqrt{2}-4)=-1-3\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-4}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}\)

Với \(\frac{y}{y+1}=v\Leftrightarrow \frac{y}{y+1}=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}\)

\(\Leftrightarrow 5y=(y+1)(-\sqrt{2}-2) \)

\(\Leftrightarrow -y\sqrt{2}-2y-\sqrt{2}-2-5y=0\)

\(\Leftrightarrow y(-\sqrt{2}-7)=\sqrt{2}+2\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+7}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}; \ y=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+7}\)

Câu 42 : Giải hệ phương trình : Trong mỗi trường hợp sau : (Trang 27 sgk toán lớp 9 tập 2) \(\left\{\begin{matrix}2x-y=m & \\ 4x-m^{2}y=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

a) \(m=-\sqrt{2}\)

b) \(m=\sqrt{2}\)

c) m = 1

Lời giải tham khảo:

a) Với \(m=-\sqrt{2}\), ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}2x-y=-\sqrt{2} & \\ 4x-(-\sqrt{2})^{2}y=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-y=-\sqrt{2} & \\ 4x-2y=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-y=-\sqrt{2} & \\ 2x-y=\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

Ta thấy tỉ số của các hệ số: \(\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’}\)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm với \(m=-\sqrt{2}\).

b) Với \(m=\sqrt{2}\), ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}2x-y=\sqrt{2} & \\ 4x-(\sqrt{2})^{2}y=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-y=\sqrt{2} & \\ 4x-2y=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-y=\sqrt{2} & \\ 2x-y=\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

Ta thấy tỉ số của các hệ số: \(\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}= \frac{c}{c’}\)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm với \(m=\sqrt{2}\).

c) Với m = 1, ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}2x-y=1 & \\ 4x-1^{2}y=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2x-1 & \\ 4x-y=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2x-1 & \\ 4x-(2x-1)=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2x-1 & \\ 4x-2x+1=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2x-1 & \\ 2x+1=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2x-1 & \\ 2x=2\sqrt{2}-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2x-1 & \\ x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2\frac{2\sqrt{2}-1}{2}-1 & \\ x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2\sqrt{2}-1-1 & \\ x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=2\sqrt{2}-2 & \\ x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2} & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left ( \frac{2\sqrt{2}-1}{2};2\sqrt{2}-2 \right )\).

Câu 43 : Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, những người chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. (Trang 27 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi vận tốc của người bắt đầu xuất phát từ A là x (m/phút). (x > 0).

Gọi vận tốc của người bắt đầu xuất phát từ B là y (m/phút). (x > 0).

Hai người khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km, ta có phương trình: \(\frac{2000}{x}=\frac{1600}{y}\)  (1)

Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường, ta được phương trình \(\frac{1800}{x}+6=\frac{1800}{y}\) (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{2000}{x}=\frac{1600}{y} & \\ \frac{1800}{x}+6=\frac{1800}{y} & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(u=\frac{100}{x};v=\frac{100}{y}\), ta được hệ phương trình mới sau: 

\(\left\{\begin{matrix}20u=16v & \\ 18u+6=18v & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5u=4v & \\ 3u-3v=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{5}v & \\ 3\frac{4}{5}v-3v=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{5}v & \\ \frac{12}{5}v -\frac{15}{5}v=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{5}v & \\ 3\frac{4}{5}v-3v=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{5}v & \\ \frac{12}{5}v -\frac{15}{5}v=-1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{5}y & \\ -\frac{3}{5}v=-1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{5}y & \\ v=\frac{5}{3} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{5}.\frac{5}{3} & \\ v=\frac{5}{3} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{4}{3} & \\ v=\frac{5}{3} & \end{matrix}\right.\)

Ta có:

• \(u=\frac{100}{x}\Leftrightarrow \frac{100}{x}=\frac{4}{3} \Leftrightarrow x= \frac{300}{4} =75\) (TMĐK)
• \(v=\frac{100}{y}\Leftrightarrow \frac{100}{y}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow y=\frac{300}{5}=60\) (TMĐK)

Vậy vận tốc người đi từ A là 75m/phút còn vận tốc người đi từ B là 60m/phút.

Câu 44 : Một vật có khối lượng 124g và thể tích là 15cm³ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích 10cm³ và 7g kẽm có thể tích 1cm³ (Trang 27 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi khối lượng đồng trong vật là x (g) (x > 0)

Gọi khối lượng kẽm trong vật là y (g) (y > 0)

Vì vật đó có khối lượng 124g nên ta có phương trình  x + y = 124 (1)

Thể tích vật là 15 cm³ mà 89g đồng thì có thể tích 10cm³ và 7g kẽm có thể tích 1cm³, nên ta có phương trình: \(\frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 

\(\left\{\begin{matrix}x+y=124 & \\ \frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}70x+70y=8680 & \\ \frac{70}{623}x+\frac{89}{623}y=\frac{9345}{623} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}19y=665 & \\ x+y=124 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=35 & \\ x+y=124 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=35 & \\ x+35=124 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=35 & \\ x=89 & \end{matrix}\right.\)

Vậy trong vật đó chứa 89g đồng và 35g kẽm.

Câu 45 : Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên ? (Trang 27 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi thời gian đội I hoàn thành xong công việc là x (x > 12)

Gọi thời gian đội II hoàn thành xong công việc là y (y > 12)

Mỗi ngày đội I làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, còn đội II làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Dự định hai đội hoàn thành công việc sau 12 ngày nên mỗi ngày hai đội làm được \(\frac{1}{12}\) công việc, ta được phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\) (1).

Khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác, tức hai đồng đã làm được \(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}\) công việc. 

Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày, tức đội II đã là được \(3,5.\frac{2}{x}=\frac{7}{y}\) công việc.

Ta được phương trình sau: \(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{7}{y}=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{8}{x}+\frac{15}{y}=1\) (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} & \\ \frac{8}{x}+\frac{15}{y}=1 & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(u=\frac{1}{x}; v=\frac{1}{y}\), ta được hệ phương trình mới sau:

\(\left\{\begin{matrix}u+v=\frac{1}{12} & \\ 8u+15v=1 & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{12}-u & \\ 15u+8v=1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{12}-u & \\ -7u=-\frac{1}{4} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{12}-u & \\ u=\frac{1}{28} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{12}-\frac{1}{28} & \\ u=\frac{1}{28} & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{1}{21} & \\ u=\frac{1}{28} & \end{matrix}\right.\)

Ta có:

• \(u=\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{28}\Leftrightarrow x=28\)
• \(v=\frac{1}{y}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{21}\Leftrightarrow y=21\)

Vậy đội I hoàn thành công việc trong 28 ngày còn đội II hoàn thành công việc trong 21 ngày.

Câu 46 : Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ? (Trang 27 sgk toán lớp 9 tập 2)

Lời giải tham khảo:

Gọi số thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x và y (tấn) (x; y > 0)

Hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc, nên ta có phương trình sau: x + y = 720 (1)

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái, do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc nên ta được phương trình sau: \(\frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=819\) (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix}x+y=720 & \\ \frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=819 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ \frac{115}{100}x+\frac{112}{100}y=819 & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ \frac{115}{100}x+\frac{112}{100}(720-x)=819 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ \frac{115}{100}x-\frac{112}{100}x+720.\frac{112}{100}=819 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ \frac{3}{100}x+\frac{720.112}{100}=819 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ \frac{3}{100}x=819-\frac{720.112}{100} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ \frac{3}{100}x=\frac{960}{100} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ x=\frac{960}{100}\div \frac{3}{100} & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-x & \\ x=320 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=720-320 & \\ x=320 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=400 & \\ x=320 & \end{matrix}\right.\)

Năm nay đơn vị I thu hoạch được: \(\frac{115}{100}x=\frac{115}{100}.320=368\) (tấn)

Năm nay đơn vị II thu hoạch được: \(\frac{112}{100}y=\frac{112}{100}.400=448\) (tấn)