1. BÀI TẬP 32 TRANG 93 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sin α bằng:

\((A)\frac{5}{3}\) ;      \((B)\frac{5}{4}\)

\((C)\frac{3}{5}\) ;      \((D)\frac{3}{4}\)

b) Trong hình 42, sin Q bằng:

\((A)\frac{PR}{RS}\) ;      \((B)\frac{PR}{QR}\)

\((C)\frac{PS}{SR}\) ;      \((D)\frac{SR}{QR}\)

c) Trong hình 43, \(cos30^0\) bằng:

\((A)\frac{2a}{\sqrt{3}}\) ;      \((B)\frac{a}{\sqrt{3}}\)

\((C)\frac{\sqrt{3}}{2}\) ;      \((D)2\sqrt{3}a^2\)

Giải:

a) Đáp án: C

‍

b) Đáp án: D

‍

c) Đáp án: C. Vì \(cos30^0=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

2. BÀI TẬP 34 TRANG 93 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng?

(A) \(sinα=\frac{b}{c}\)    ;      (B) \(cotgα=\frac{b}{c}\)

(C) \(tgα=\frac{a}{c}\) ;       (D) \(cotgα=\frac{a}{c}\)

b) Trog hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng ?

(A) \(sin^2α+cos^2α=1\) ;      (B) \(sin α = cos β\)

(C) \(cos β = sin (90^o – α)\) ;      (D)\(tanα=\frac{sinα}{cosα}\)

Giải:

a) Đáp án: C

‍

b) Đáp án: C. Vì \(β=90^o – α\) nên hệ thức đúng là : \(cos α= sin (90^o – α)\)hoặc \(cos β = sin (90^o – β)\)

3. BÀI TẬP 35 TRANG 94 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19: 28. Tìm các góc của nó.

Giải:

Gỉa sử có tam giác ABC vuông tại A như hình vẽ trên

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\), có:

\(tanα=tan\widehat{C}=\frac{AB}{AC}\)

⇒ \(tanα=\frac{19}{28}\)

⇒ \(α ≈ 34^o10'\)

⇒ \(β ≈ 90^o - 34^o10' = 55^o50'\)

4. BÀI TẬP 36 TRANG 94 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho tam giác có một góc bằng \(45^o\). Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21 cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47).

Giải:

• Hình 46: Cạnh lớn nhất là AC = x

Xét \(\triangle{ABH}\) \((\widehat{H} =90^0)\), có:

\(\widehat{B} =45^0)\)

⇒ \(\triangle{ABH}\) là tam giác vuông cân tại H

⇒ \(HA = HB = 20\)

Áp dụng định lí Pitago trong \(\triangle{ACH}\) có:

\(x=\sqrt{AC^2=AH^2+HC^2}\)

⇒ \(x=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}\)

⇒ \(x=29\)

Vậy độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29.

• Hình 47: Cạnh lớn nhất là A’B’=y

Xét \(\triangle{A'B'H'}\) \((\widehat{H'} =90^0)\), có:

\(\widehat{B'} =45^0)\)

⇒ \(\triangle{A'B'H'}\) là tam giác vuông cân tại H'

⇒ \(H'A' = H'B' = 21\)

Áp dụng định lí Pitago trong \(\triangle{A'B'H'}\) có:

\(x=\sqrt{A'B'^2=A'H'^2+H'B'^2}\)

⇒ \(x=\sqrt{21^2+21^2}=\sqrt{441+441}=\sqrt{882}=2\sqrt{21}\)

⇒ \(x≈29,7\)

Vậy độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29,7.

5. BÀI TẬP 37 TRANG 94 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Giải:

a) Xét \(\triangle{ABC}\) có:

\(AB^2=6^2=36\)

\(AC^2=4,5^2=20,25\)

\(BC^2=7,5^2=56,25\)

thấy: 56,25=36+20,25

⇒ \(BC^2=AB^2+AC^2\)

Theo định lý Pytago đảo ⇒ \(\triangle{ABC}\) vuông tại A.

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\), có:

\(tan\widehat{B}=\frac{AC}{AB}= \frac{4,5}{6}=0,75\)

⇒ \(\widehat{B}= 37^0\)

⇒ \(\widehat{C}= 90^0-37^0=53^0\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

⇒ \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{4,5^2}\)

⇒ \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{4,5^2}\)

⇒ \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{36}+\frac{1}{20,25}\)

⇒ \(\frac{1}{AH^2}=\frac{25}{324}\)

⇒ \(AH^2=\frac{324}{25}\)

⇒ \(AH=\sqrt{\frac{324}{25}}= 3,6cm\)

b) Gọi khoảng cách từ M đến BC là MK

 Ta có: \(S_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}.AH.BC\) 

\(S_{\triangle{MBC}}=\frac{1}{2}.MK.BC\)

Mà: \(S_{\triangle{MBC}}=S_{\triangle{ABC}}\) (giả thiết)

⇒ \( \frac{1}{2}.MK.BC=\frac{1}{2}.AH.BC\)

⇒ \(MK=AH=3,6cm\)

Vậy để \(S_{\triangle{MBC}}=S_{\triangle{ABC}}\) khi M  nằm trên đường thẳng song song và cách BC một khoảng là 3,6 cm (có hai đường thẳng như trên hình).

6. BÀI TẬP 38 TRANG 95 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét).

Hình 48

Giải:

Xét \(\triangle{AIK}\) \((\widehat{I} =90^0)\), có:

\(AI=IK.tan\widehat{AKI}\)

⇒ \(AI=380.tan50^0\)

⇒ \(AI≈ 452 (m)\)

Ta có: \(\widehat{AKI}+\widehat{AKB}=\widehat{BKI}\)

⇒  \(\widehat{BKI}=50^0+15^0=65^0\)

Xét \(\triangle{BIK}\) \((\widehat{I} =90^0)\), có:

\(BI=IK.tan\widehat{BKI}\)

⇒ \(BI=380.tan65^0\)

⇒ \(BI≈ 814 (m)\)

Ta có: \(BI=BA+AI\)

⇒ \(814=BA+452\)

⇒ \(BA=362m\)

7. BÀI TẬP 39 TRANG 95 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)

                Hình 49

Giải:

Dựng như hình vẽ, có BH: là khoảng cách giữa hai cái cọc

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\), có:

\(AB=AC.tan\widehat{C}\)

⇒ \(AB=20.tan50^0=23,83m\)

Ta có: \(AB=AD+DB\)

⇒ \(23,83=5+DB\)

⇒\(DB=18,83m\)

Ta có: \(AB ⊥ AC\) (gt)

          \(AB ⊥ HD tại D\) (gt)

⇒ AC//HD (theo mối quan hệ giữa đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song)

⇒ \(\widehat{DHB} =\widehat{C}=50^0\) (2 góc ở VT đồng vị)

Xét \(\triangle{BDH}\) \((\widehat{D} =90^0)\), có:

\(BH=\frac{BD}{sin\widehat{DHB}}\)

⇒ \(BH=\frac{18,83}{sin50^0}\)

⇒\(BH=24,59m\)

8. BÀI TẬP 40 TRANG 95 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề-xi-mét)

Hình 50

Giải:

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\), có:

\(AC=AB.tan\widehat{C}\)

⇒ \(AC=30.tan35^0≈ 21 (m)\)

⇒ Chiều cao HC của cái cây là:

\(HC=HA+AC=1,7+21=22,7m=227dm\)

9. BÀI TẬP 41 TRANG 96 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tam giác ABC vuông tại C có AC = 2cm, BC = 5cm, \(\widehat{BAC} = x\), \(\widehat{ABC} = y\). Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm \(x – y\):

\(sin23^036'≈0,4\);

\(cos66^024'≈0,4\);

\(tg21^048'≈0,4\);

Giải:

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{C} =90^0)\), có:

\(tan\widehat{ABC} =\frac{AC}{AB}=\frac{2}{5}=0,4\)

Mà ta lại có: \(tg21^048'≈0,4\)

⇒ \(\widehat{ABC}=21^048' \)

⇒ \(y=21^048' \)

⇒ \(x=90^0-21^048'=68o12' \) (Vì x, y là hai góc phụ nhau)

⇒ \(x-y=68^o12'-21^048'=46^024'\)

10. BÀI TẬP 42 TRANG 96 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: "Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \(60^o\) đến \(70^o\)". Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Giải:

Dựng hình như trên, ta có: chiều dài cái thang là BC

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\), có:

\(AC=BC.cos\widehat{C}=3.cos\widehat{C}\)

Vì phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \(60^o\) đến \(70^o\) để đảm bảo an toàn

Do đó: \(60^0 ≤\widehat{C} ≤ 70^0\)

⇒ \(cos60^0 ≤cos\widehat{C} ≤ cos70^0\)

⇒ \(3.cos60^0 ≤3.cos\widehat{C} ≤ 3.cos70^0\)

⇒ \(1,03 ≤3.cos\widehat{C} ≤ 1,5\)

⇒ \(1,03 ≤AC ≤ 1,5\)

Vậy phải đặt chân thang cách tường từ 1,03 m đến 1,5 m.

11. BÀI TẬP 43 TRANG 96 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Vào khoảng năm 200 trước Công Nguyên, Ơratôxten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là At-xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất.

(Trên hình 51 điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Hình 51

Giải:

Gọi C là chu vi của trái đất \(\widehat{AOS}= α\), ta có:

\(C_{cầu}=AS.\frac{360^0}{α^0}\)

Vì các tia sáng chiếu thẳng đứng nên BC // SO do đó:

\(\widehat{AOS} = \widehat{ACB}\) (2 góc ở VT so le trong)

Xét \(\triangle{ABC}\) \((\widehat{A} =90^0)\), có:

\(tan\widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}\)

⇒ \(tan\widehat{ACB}=\frac{3,1}{25}\)

⇒ \(\widehat{ACB}≈7,07^0\)

⇒ \(α=\widehat{AOS} =\widehat{ACB}≈7,07^0\)

Vậy chu vi của Trái Đất là:

\(C=800.\frac{360^0}{7,07^0}≈40736km\)