1. BÀI TẬP 70 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tìm các giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi rút gọn thích hợp:

a) \(\sqrt{\frac{25}{81}.\frac{16}{49}.\frac{196}{9}}\)

b) \(\sqrt{3\frac{1}{16}.2\frac{14}{25}.2\frac{34}{81}}\)

c) \(\frac{\sqrt{640}.\sqrt{43,3}}{\sqrt{567}}\)

d) \(\sqrt{21,6}\). \(\sqrt{810}\).\(\sqrt{11^2-5^2}\)

Giải:

a) \(\sqrt{\frac{25}{81}.\frac{16}{49}.\frac{196}{9}}\)

= \(\sqrt{\frac{25}{81}}\).\(\sqrt{\frac{16}{49}}\).  \(\sqrt{\frac{196}{9}}\)

= \(\frac{5}{9}\).\(\frac{4}{7}\).\(\frac{14}{3}\)

= \(\frac{5.4.14}{9.7.3}\)

= \(\frac{5.4.2}{9.3}\) = \(\frac{40}{27}\)

b) \(\sqrt{3\frac{1}{16}.2\frac{14}{25}.2\frac{34}{81}}\)

= \(\sqrt{\frac{49}{16}.\frac{64}{25}.\frac{196}{81}}\)

= \(\sqrt{\frac{49}{16}}\).\(\sqrt{\frac{64}{25}}\).  \(\sqrt{\frac{196}{81}}\)

= \(\frac{7}{4}\).\(\frac{8}{5}\).\(\frac{14}{9}\)

= \(\frac{7.8.14}{4.5.9}\) = \(\frac{7.2.14}{5.9}\) = \(\frac{196}{45}\)

c) \(\frac{\sqrt{640}.\sqrt{43,3}}{\sqrt{567}}\)

=  \(\sqrt{\frac{640.43,3}{567}}\)

= \(\sqrt{\frac{64.433}{567}}\) = \(\sqrt{\frac{64.49.7}{81.7}}\)

= \(\sqrt{\frac{64.49}{81}}\) = \(\frac{8.7}{9}\) = \(\frac{56}{9}\)

d) \(\sqrt{21,6}\). \(\sqrt{810}\).\(\sqrt{11^2-5^2}\)

= \(\sqrt{21,6.810}\).\(\sqrt{(11-5)(11+5)}\)

= \(\sqrt{216.81}\).\(\sqrt{6.16}\)= \(\sqrt{36.6.81}\).\(\sqrt{6.16}\) 

= \(\sqrt{36.6.6.81.16}\)

= \(\sqrt{36.36.81.16}\) = \(\sqrt{36^2.9^2.4^2}\) = 36.9.4 = 1296

2. BÀI TẬP 71 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (\(\sqrt{8}\) - 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{10}\))\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{5}\)

b) 0,2\(\sqrt{(-10)^2.3}\) + 2\(\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}\)

c) (\(\frac{1}{2}\).\(\sqrt{\frac{1}{2}}\) - \(\frac{1}{2}\).\(\sqrt{2}\) + \(\frac{4}{5}\).\(\sqrt{200}\) ): \(\frac{1}{8}\)

d) 2\(\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}\) + \(\sqrt{2.(-3)^2}\) - 5(\(\sqrt{(-1)^4}\)

Giải:

a) (\(\sqrt{8}\) - 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{10}\))\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{5}\)

= (2\(\sqrt{2}\) - 3\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{10}\))\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{5}\)

= ( - \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{10}\))\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{5}\)

= - \(\sqrt{2}\).\(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{10}\).\(\sqrt{2}\) - \(\sqrt{5}\)

= -2 + \(\sqrt{20}\) - \(\sqrt{5}\) = -2 +2\(\sqrt{5}\) -\(\sqrt{5}\)

= \(\sqrt{5}\) -2

b) 0,2\(\sqrt{(-10)^2.3}\) + 2\(\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}\)

= 0,2.10\(\sqrt{3}\) + 2|\(\sqrt{3}\)-\(\sqrt{5}\)|

= 2\(\sqrt{3}\) + 2(\(\sqrt{5}\)-\(\sqrt{3}\))

= 2\(\sqrt{3}\) + 2\(\sqrt{5}\) - 2\(\sqrt{3}\)

= 2\(\sqrt{5}\)

c) (\(\frac{1}{2}\).\(\sqrt{\frac{1}{2}}\) - \(\frac{1}{2}\).\(\sqrt{2}\) + \(\frac{4}{5}\).\(\sqrt{200}\) ): \(\frac{1}{8}\)

= (\(\frac{1}{2}\).\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\frac{1}{2}\).\(\sqrt{2}\) + \(\frac{4}{5}\).\(\sqrt{2.100}\) ): \(\frac{1}{8}\)

=  (\(\frac{\sqrt{2}}{4}\) - \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) + 10.\(\frac{4}{5}\).\(\sqrt{2}\) ): \(\frac{1}{8}\)

= (\(\frac{\sqrt{2}}{4}\) - \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) + 8.\(\sqrt{2}\) ): \(\frac{1}{8}\)

= (\(\frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{2}\) + 8 ).\(\sqrt{2}\): \(\frac{1}{8}\)

= \(\frac{31}{4}\).\(\sqrt{2}\) . 8 = 62\(\sqrt{2}\)

d) 2\(\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}\) + \(\sqrt{2.(-3)^2}\) - 5(\(\sqrt{(-1)^4}\)

= 2.(3-\(\sqrt{2}\)) + 3.\(\sqrt{2}\) - 5.1

= 6 - 4\(\sqrt{2}\) + 3.\(\sqrt{2}\) - 5

=1- \(\sqrt{2}\)

3. BÀI TẬP 72 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Phân tích thành nhân tử ( với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)

a) xy - y\(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{x}\) - 1

b) \(\sqrt{ax}\) - \(\sqrt{by}\) + \(\sqrt{bx}\) - \(\sqrt{ay}\)

c) \(\sqrt{a+b}\) + \(\sqrt{a^2-b^2}\)

d) 12-\(\sqrt{x}\)-x

Giải:

a) xy - y\(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{x}\) - 1

= y\(\sqrt{x}\)(\(\sqrt{x}\) - 1) + \(\sqrt{x}\) - 1

= (\(\sqrt{x}\) - 1)(y\(\sqrt{x}\) + 1)

b) \(\sqrt{ax}\) - \(\sqrt{by}\) + \(\sqrt{bx}\) - \(\sqrt{ay}\)

= ( \(\sqrt{ax}\) + \(\sqrt{bx}\) ) - ( \(\sqrt{by}\) + \(\sqrt{ay}\) )

= \(\sqrt{x}\)( \(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\) ) - \(\sqrt{y}\)( \(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\) )

= ( \(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\) )(\(\sqrt{x}\)- \(\sqrt{y}\))

c) \(\sqrt{a+b}\) + \(\sqrt{a^2-b^2}\)

= \(\sqrt{a+b}\) + \(\sqrt{(a+b)(a-b)}\)

= \(\sqrt{a+b}\) + \(\sqrt{a-b}\).\(\sqrt{a+b}\)

=\(\sqrt{a+b}\) (1+ \(\sqrt{a-b}\))

d) 12-\(\sqrt{x}\)-x

= - x - \(\sqrt{x}\) + 12

= - x + 3\(\sqrt{x}\) - 4\(\sqrt{x}\) +12

= -\(\sqrt{x}\)(\(\sqrt{x}\) -3) -4(\(\sqrt{x}\) -3)

= (\(\sqrt{x}\) -3)(-\(\sqrt{x}\) -4)

4. BÀI TẬP 73 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sqrt{-9a}\) - \(\sqrt{9 + 12a + 4a^2}\) tại a = -9

b) 1+ \(\frac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+m}\) tại m = 1,5

c) \(\sqrt{1 - 10a + 25a^2}\) - 4a tại a = \(\sqrt{2}\)

d) 4x-\(\sqrt{9x^2+6x+1}\) tại x = - \(\sqrt{3}\)

Giải:

a) \(\sqrt{-9a}\) - \(\sqrt{9 + 12a + 4a^2}\) tại a = -9

=  \(\sqrt{-9a}\) - \(\sqrt{(3+2a)^2}\) 

= \(\sqrt{-9a}\) - |3+2a|

Tại a = -9, ta có:

\(\sqrt{-9a}\) - |3+2a| = \(\sqrt{-9.(-9)}\) - |3+2.(-9)|

= \(\sqrt{81}\) - |3-18|

= 9 - |-15| = 9 -15 = -6

Vậy tại a = -9 thì \(\sqrt{-9a}\) - \(\sqrt{9 + 12a + 4a^2}\) = -6

b) 1+ \(\frac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}\) tại m = 1,5

= 1+ \(\frac{3m}{m-2}\sqrt{(m-2)^2}\)

= 1+ \(\frac{3m}{m-2}|\)|m-2|

Tại m = 1,5, ta được:

1+ \(\frac{3m}{m-2}|\)m-2| = 1+ \(\frac{3.1,5}{1,5-2}|\)|1,5-2|

= 1+ \(\frac{4,5}{-0,5}\)|-0,5| = 1 - \(\frac{4,5}{-0,5}\).0,5 = 1+ 4,5 = 5,5

Vậy tại m = 1,5 thì 1+ \(\frac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}\) = 5,5

c) \(\sqrt{1 - 10a + 25a^2}\) - 4a tại a = \(\sqrt{2}\)

= \(\sqrt{(1-5a)^2}\) - 4a

= |1-5a| -4a 

Tại a = \(\sqrt{2}\), ta được:

|1-5a| -4a = |1-5\(\sqrt{2}\)| - 4\(\sqrt{2}\) = 5\(\sqrt{2}\) -1 - 4\(\sqrt{2}\)

= \(\sqrt{2}\) -1

Vậy tại a = \(\sqrt{2}\) thì \(\sqrt{1 - 10a + 25a^2}\) - 4a  = \(\sqrt{2}\) -1

d) 4x-\(\sqrt{9x^2+6x+1}\) tại x = - \(\sqrt{3}\)

= 4x-\(\sqrt{(3x+1)^2}\)

= 4x - |3x+1|

Tại x = - \(\sqrt{3}\), ta có:

4x - |3x+1| = 4.(- \(\sqrt{3}\)) - |3.(- \(\sqrt{3}\))+1|

= -4\(\sqrt{3}\)- |3\(\sqrt{3}\)+1|

= -4\(\sqrt{3}\)- (3\(\sqrt{3}\)+1)

= -4\(\sqrt{3}\)- 3\(\sqrt{3}\) - 1

= - 7\(\sqrt{3}\) -1

Vậy tại x = - \(\sqrt{3}\) thì 4x-\(\sqrt{9x^2+6x+1}\) = - 7\(\sqrt{3}\) -1

5. BÀI TẬP 74 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tìm x, biết:

a) \(\sqrt{(2x-1)^2}\) = 3

b) \(\frac{5}{3}\)\(\sqrt{15x}\) - \(\sqrt{15x}\) -2 = \(\frac{1}{3}\)\(\sqrt{15x}\)

Giải:

a) \(\sqrt{(2x-1)^2}\) = 3 (đk: với mọi giá trị x)

⇔ |2x-1| = 3

⇔ 2x-1 = 3 hoặc 2x-1 = -3

⇔ x = 2 (tm)  hoặc   x = -1(tm)

Vậy pt trên có 2 nghiệm S = {2 ; -1}

b) \(\frac{5}{3}\)\(\sqrt{15x}\) - \(\sqrt{15x}\) -2 = \(\frac{1}{3}\)\(\sqrt{15x}\) (Đk: x ≥ 0 )

⇔ 5\(\sqrt{15x}\) - 3\(\sqrt{15x}\) - 6 = \(\sqrt{15x}\)

⇔ 5\(\sqrt{15x}\) - 3\(\sqrt{15x}\) - \(\sqrt{15x}\) = 6

⇔ \(\sqrt{15x}\) = 6

⇔ (\(\sqrt{15x})^2\) = \(6^2\)

⇔ 15x = 36

⇔     x = \(\frac{36}{15}\)

⇔     x = \(\frac{12}{5}\) (tm)

Vậy PT trên có nghiệm  x = \(\frac{12}{5}\)

6. BÀI TẬP 75 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (\(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}\) - \(\frac{\sqrt{216}}{3}\)). \(\frac{1}{\sqrt{6}}\) = -1,5

b) (\(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}\) + \(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\)) : \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\) = -2

c) \(\frac{a\sqrt{b}+ b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\) : \(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) = a - b với a, b dương và a # b

d) (1+ \(\frac{a +\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\) )( 1- \(\frac{a -\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)) = 1- a với a ≥ 0 và a # 1

Giải:

a) (\(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}\) - \(\frac{\sqrt{216}}{3}\)). \(\frac{1}{\sqrt{6}}\) = -1,5

Xét VT = (\(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}\) - \(\frac{\sqrt{216}}{3}\)). \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)

= [\(\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}\) - \(\frac{6\sqrt{6}}{3}\)] .\(\frac{1}{\sqrt{6}}\)

= (\(\frac{\sqrt{6}}{2}\) - 2\(\sqrt{6}\)) .\(\frac{1}{\sqrt{6}}\)

= - 1,5\(\sqrt{6}\) .\(\frac{1}{\sqrt{6}}\) = -1,5 = VP (đpcm)

b) (\(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}\) + \(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\)) : \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\) = -2

Xét VT = (\(\frac{\sqrt{7}(\sqrt{2}-1)}{1-\sqrt{2}}\) + \(\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}\)) : \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

= [\(\frac{-\sqrt{7}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}\) + \(\frac{-\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}\)] : \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

= (-\(\sqrt{7}\) - \(\sqrt{5}\)) : \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

= - ( \(\sqrt{7}\) + \(\sqrt{5}\)).( \(\sqrt{7}\) -\(\sqrt{5}\))

= - [ (\(\sqrt{7})^2\) - (\(\sqrt{5})^2\)]

= - (7-5) = -2 = VP (Đpcm)

c) \(\frac{a\sqrt{b}+ b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\) : \(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) = a - b với a, b dương và a # b

Xét VT = \(\frac{a\sqrt{b}+ b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\) : \(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) 

= \(\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+ \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}\) : \(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) 

=(\(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\)). (\(\sqrt{a}\) - \(\sqrt{b}\)) = a - b = VP (Đpcm)

d) (1+ \(\frac{a +\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\) )( 1- \(\frac{a -\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)) = 1- a với a ≥ 0 và a # 1

Xét VT = (1+ \(\frac{a +\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\) )( 1- \(\frac{a -\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)) 

= [1+ \(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+1}\) ][1- \(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}-1}\)]

= (1 + \(\sqrt{a}\))(1 - \(\sqrt{a}\)) = \(1^2\) - \((\sqrt{a})^2\) = 1 - a = VP (Đpcm)

7. BÀI TẬP 76 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho biểu thức 

Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  -( 1+ \(\frac{a }{\sqrt{a^2-b^2}}\)) : \(\frac{b}{a -\sqrt{a^2 -b^2}}\)  với a > b > 0

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b

Giải:

a) Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  -( 1+ \(\frac{a }{\sqrt{a^2-b^2}}\)) : \(\frac{b}{a -\sqrt{a^2 -b^2}}\)  với a > b > 0

⇔ Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  - \(\frac{\sqrt{a^2-b^2} + a }{\sqrt{a^2-b^2}}\).\(\frac{a -\sqrt{a^2 -b^2}}{b}\)

⇔  Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  - \(\frac{(\sqrt{a^2-b^2} + a)(a -\sqrt{a^2 -b^2})}{b.\sqrt{a^2-b^2}}\)

⇔ Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  - \(\frac{a^2-(\sqrt{a^2-b^2})^2 }{b.\sqrt{a^2-b^2}}\)

⇔ Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  - \(\frac{a^2-(a^2-b^2) }{b.\sqrt{a^2-b^2}}\)

⇔ Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  - \(\frac{a^2-a^2+b^2}{b.\sqrt{a^2-b^2}}\)

⇔   Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  - \(\frac{b^2}{b.\sqrt{a^2-b^2}}\)

⇔   Q = \(\frac{a }{\sqrt{a^2 -b^2}}\)  - \(\frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}\)

⇔   Q = \(\frac{a -b }{\sqrt{a^2 -b^2}}\) 

⇔   Q = \(\frac{\sqrt{a - b} }{\sqrt{a + b}}\) 

b) Khi a = 3b, ta có:

Q = \(\frac{\sqrt{a - b} }{\sqrt{a + b}}\) 

= \(\frac{\sqrt{3b - b} }{\sqrt{3b + b}}\) 

= \(\frac{\sqrt{2b} }{\sqrt{4b}}\) 

= \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy với a = 3b thì Q = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)