1. BÀI TẬP 57 TRANG 61 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:

a) \(\dfrac{3}{2x-3}\) và \(\dfrac{3x+6}{2x^2+x-6}\)

b) \(\dfrac{2}{x+4}\) và \(\dfrac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}\)

Giải:

a) \(\dfrac{3}{2x-3}\) và \(\dfrac{3x+6}{2x^2+x-6}\)

Xét \(\dfrac{3x+6}{2x^2+x-6}\), ta thấy:

\(\dfrac{3x+6}{2x^2+x-6}=\dfrac{3(x+2)}{2x^2+4x-3x-6}\)

\(=\dfrac{3(x+2)}{2x(x+2)-3(x+2)}\)

\(=\dfrac{3(x+2)}{(x+2)(2x-3)}\)

\(=\dfrac{3}{2x-3}\) = \(\dfrac{3}{2x-3}\) 

Do đó: \(\dfrac{3}{2x-3}=\dfrac{3x+6}{2x^2+x-6}\)

‍

b) \(\dfrac{2}{x+4}\) và \(\dfrac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}\)

Xét \(\dfrac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}\), ta thấy:

\(\dfrac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}\)

\(=\dfrac{2x(x+3)}{x(x^2+7x+12)}\)

\(=\dfrac{2x(x+3)}{x(x^2+3x+4x+12)}\)

\(=\dfrac{2x(x+3)}{x[x(x+3)+4(x+3)]}\)

\(=\dfrac{2x(x+3)}{x(x+3)(x+4)}\)

\(=\dfrac{2}{x+4}\) = \(=\dfrac{2}{x+4}\)

Do đó: \(\dfrac{2}{x+4} =\dfrac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}\)

2. BÀI TẬP 58 TRANG 62 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}\right):\dfrac{4x}{10x-5}\)

b) \(\left(\dfrac{1}{x^2+x}-\dfrac{2-x}{x+1}\right):\left(\dfrac{1}{x}+x-2\right)\)

c) \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\dfrac{1}{x^2-2x+1}+\dfrac{1}{1-x^2}\right)\)

Giải:

a) \(\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}\right):\dfrac{4x}{10x-5}\)

\(=\left[\dfrac{(2x+1)^2}{(2x-1)(2x+1)}-\dfrac{(2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}\right]:\dfrac{4x}{10x-5}\)

\(=\dfrac{(2x+1)^2-(2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}:\dfrac{4x}{10x-5}\)

\(=\dfrac{[(2x+1)+(2x-1)].[(2x+1)-(2x-1)]}{(2x-1)(2x+1)}:\dfrac{4x}{10x-5}\)

\(=\dfrac{4x.2}{(2x-1)(2x+1)}:\dfrac{4x}{10x-5}\)

\(=\dfrac{4x.2}{(2x-1)(2x+1)}.\dfrac{10x-5}{4x}\)

\(=\dfrac{4x.2.(10x-5)}{(2x-1)(2x+1).4x}\)

\(=\dfrac{4x.2.5(2x-1)}{(2x-1)(2x+1).4x}\)

\(=\dfrac{10}{2x+1}\)

b) \(\left(\dfrac{1}{x^2+x}-\dfrac{2-x}{x+1}\right):\left(\dfrac{1}{x}+x-2\right)\)

\(=\left[\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{2-x}{x+1}\right]:\left[\dfrac{1}{x}+\dfrac{x(x-2)}{x}\right]\)

\(=\left[\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{x(2-x)}{x(x+1)}\right]:\dfrac{1+x(x-2)}{x}\)

\(=\dfrac{1-x(2-x)}{x(x+1)}:\dfrac{1+x^2-2x}{x}\)

\(=\dfrac{1-2x+x^2}{x(x+1)}:\dfrac{1+x^2-2x}{x}\)

\(=\dfrac{1-2x+x^2}{x(x+1)}.\dfrac{x}{1+x^2-2x}\)

\(=\dfrac{(1-x)^2}{x(x+1)}.\dfrac{x}{(1-x)^2}\)

\(=\dfrac{(1-x)^2.x}{x(x+1).(1-x)^2}\)

\(=\dfrac{1}{x+1}\)

c) \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\dfrac{1}{x^2-2x+1}+\dfrac{1}{1-x^2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x(x^2-1)}{x^2+1}.\left[\dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{1}{(1-x)(x+1)}\right]\)

\(=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x(x^2-1)}{x^2+1}.\left[\dfrac{1}{(1-x)^2}+\dfrac{1}{(1-x)(x+1)}\right]\)

\(=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x(x^2-1)}{x^2+1}.\left[\dfrac{x+1}{(1-x)^2(x+1)}+\dfrac{1-x}{(1-x)^2(x+1)}\right]\)

\(=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1}.\dfrac{x+1+1-x}{(1-x)^2(x+1)}\)

\(=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1}.\dfrac{2}{(1-x)^2(x+1)}\)

\(=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x(x-1)(x+1).2}{(x^2+1)(1-x)^2(x+1)}\)

\(=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2x}{(x^2+1)(x-1)}\)

\(=\dfrac{x^2+1}{(x^2+1)(x-1)}-\dfrac{2x}{(x^2+1)(x-1)}\)

\(=\dfrac{x^2+1-2x}{(x^2+1)(x-1)}\)

\(=\dfrac{(x-1)^2}{(x^2+1)(x-1)}\)

\(=\dfrac{x-1}{x^2+1}\)

3. BÀI TẬP 59 TRANG 62 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

a) Cho biểu thức \(\dfrac{xP}{x+P}-\dfrac{yP}{y-P}\). 

Thay \(P=\dfrac{xy}{x-y}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

b) Cho biểu thức \(\dfrac{P^2Q^2}{P^2-Q^2}\).

Thay \(P=\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\) và \(Q=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\) vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Giải:

a) . 

Thay \(P=\dfrac{xy}{x-y}\) vào biểu thức, ta có:

\(\dfrac{x.\dfrac{xy}{x-y}}{x+\dfrac{xy}{x-y}}-\dfrac{y.\dfrac{xy}{x-y}}{y-\dfrac{xy}{x-y}}\)

\(=x.\dfrac{xy}{x-y}:\left(x+\dfrac{xy}{x-y}\right)-y.\dfrac{xy}{x-y}:\left(y-\dfrac{xy}{x-y}\right)\)

\(=\dfrac{x^2y}{x-y}:\left[\dfrac{x(x-y)}{x-y}+\dfrac{xy}{x-y}\right]-\dfrac{xy^2}{x-y}:\left[\dfrac{y(x-y)}{x-y}-\dfrac{xy}{x-y}\right]\)

\(=\dfrac{x^2y}{x-y}:\dfrac{x^2-xy+xy}{x-y}-\dfrac{xy^2}{x-y}:\dfrac{xy-y^2-xy}{x-y}\)

\(=\dfrac{x^2y}{x-y}:\dfrac{x^2}{x-y}-\dfrac{xy^2}{x-y}:\left(\dfrac{-y^2}{x-y}\right)\)

\(=\dfrac{x^2y}{x-y}.\dfrac{x-y}{x^2}-\dfrac{xy^2}{x-y}.\left(\dfrac{x-y}{-y^2}\right)\)

\(=\dfrac{x^2y.(x-y)}{(x-y).x^2}+\dfrac{xy^2.(x-y)}{(x-y).y^2}\)

\(=x+y\)

‍

b) Thay \(P=\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\) và \(Q=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\) vào biểu thức, ta có:

\(=\dfrac{\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)^2\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\right)^2}{\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)^2-\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\right)^2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{(2xy)^2.(2xy)^2}{(x^2-y^2)^2.(x^2+y^2)^2}}{\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}-\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\right).\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{(2xy)^4}{(x^2-y^2)^2.(x^2+y^2)^2}}{\left[\dfrac{2xy(x^2+y^2)-2xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}\right].\left[\dfrac{2xy(x^2+y^2)+2xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}\right]}\)

\(=\dfrac{\dfrac{16x^4y^4}{(x^2-y^2)^2.(x^2+y^2)^2}}{\dfrac{2x^3y+2xy^3-2x^3y+2xy^3}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}.\dfrac{2x^3y+2xy^3+2x^3y-2xy^3}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{16x^4y^4}{(x^2-y^2)^2.(x^2+y^2)^2}}{\dfrac{4xy^3}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}.\dfrac{4x^3y}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{16x^4y^4}{(x^2-y^2)^2.(x^2+y^2)^2}}{\dfrac{16x^4y^4}{(x^2+y^2)^2(x^2-y^2)^2}}\)

\(=1\)

4. BÀI TẬP 60 TRANG 62 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Cho biểu thức 

\(\left(\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{3}{x^2-1}-\dfrac{x+3}{2x+2}\right).\dfrac{4x^2-4}{5}\)

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Giải:

a) Để giá trị của biểu thức được xác định

\begin{align}⇔\begin{cases}2x-2≠0\\x^2-1≠0\\2x+2≠0\\\end{cases}\end{align}

\begin{align}⇔\begin{cases}x≠1 \\(x-1)(x+1)≠0\\x≠-1 \\\end{cases}\end{align}

\begin{align}⇔\begin{cases}x≠1\\x-1≠0\\x+1≠0\\x≠-1\\\end{cases}\end{align}

⇒ \(x≠±\1\)

Vậy với điều kiện \(x≠±\1\) thì phân thức trên xác định.

‍

b) Ta có:

\(\left(\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{3}{x^2-1}-\dfrac{x+3}{2x+2}\right).\dfrac{4x^2-4}{5}\)

\(=\left[\dfrac{x+1}{2(x-1)}+\dfrac{3}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{x+3}{2(x+1)}\right].\dfrac{4x^2-4}{5}\)

\(=\left[\dfrac{(x+1)^2+3.2-(x+3)(x-1)}{2(x-1)(x+1)}\right].\dfrac{4(x^2-1)}{5}\)

\(=\left[\dfrac{x^2+2x+1+6-(x^2+2x-3)}{2(x-1)(x+1)}\right].\dfrac{4(x-1)(x+1)}{5}\)

\(=\dfrac{x^2+2x+1+6-x^2-2x+3}{2(x-1)(x+1)}.\dfrac{4(x-1)(x+1)}{5}\)

\(=\dfrac{10}{2(x-1)(x+1)}.\dfrac{4(x-1)(x+1)}{5}=4\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

5. BÀI TẬP 61 TRANG 62 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức 

\(\left(\dfrac{5x+2}{x^2-10x}+\dfrac{5x-2}{x^2+10x}\right).\dfrac{x^2-100}{x^2+4}\)

được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại x = 20040.

Giải:

Để biểu thức trên xác định 

\begin{align}⇔\begin{cases}x^2-10x≠0 \\x^2+10x≠ 0\\\end{cases}\end{align}

\begin{align}⇔  \begin{cases}x(x-10)≠ 0 \\x(x+10)≠0\\\end{cases}\end{align}

\begin{align}⇔\begin{cases}x≠0\\x-10≠0\\x+10≠0\\\end{cases}\end{align}

\begin{align}⇒\begin{cases}x≠0\\x≠±10\\\end{cases}\end{align}

Vậy với \(x≠0\) và \(x≠±10\) thì biểu thức trên xác định.

• Ta có:

\(\left(\dfrac{5x+2}{x^2-10x}+\dfrac{5x-2}{x^2+10x}\right).\dfrac{x^2-100}{x^2+4}\)

\(=\left(\dfrac{5x+2}{x(x-10)}+\dfrac{5x-2}{x(x+10)}\right).\dfrac{(x-10)(x+10)}{x^2+4}\)

\(=\left[\dfrac{(5x+2)(x+10)}{x(x-10)(x+10)}+\dfrac{(5x-2)(x-10)}{x(x-10)(x+10)}\right].\dfrac{(x-10)(x+10)}{x^2+4}\)

\(=\left[\dfrac{5x^2+52x+20}{x(x-10)(x+10)}+\dfrac{5x^2-52x+20}{x(x-10)(x+10)}\right].\dfrac{(x-10)(x+10)}{x^2+4}\)

\(=\dfrac{5x^2+52x+20+5x^2-52x+20}{x(x-10)(x+10)}.\dfrac{(x-10)(x+10)}{x^2+4}\)

\(=\dfrac{10x^2+40}{x(x-10)(x+10)}.\dfrac{(x-10)(x+10)}{x^2+4}\)

\(=\dfrac{10(x^2+4)(x-10)(x+10)}{x(x-10)(x+10)(x^2+4)}\)

\(=\dfrac{10}{x}\)

6. BÀI TẬP 62 TRANG 62 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Tìm giá trị của phân thức \(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}\) bằng 0.

Giải:

• Điều kiện xác định của phân thức: \(x^2-5x≠0\) ⇔ \(x(x-5)≠0\)

\begin{align}⇔\begin{cases}x≠0 \\x-5≠ 0\\\end{cases}\end{align}

\begin{align}⇔\begin{cases}x≠0 \\x≠ 5\\\end{cases}\end{align}

Với \(x≠0\) và \(x≠ 5\) thì biểu thức trên xác định.

• Ta có: \(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}\)

\(=\dfrac{(x-5)^2}{x(x-5)}=\dfrac{x-5}{x}\)

Để phân thức = 0

⇔ \(\dfrac{x-5}{x}=0\)

⇔ \(x-5 = 0\)

⇔ \(x=5\) (không thỏa mãn vì đk \(x≠0\) và \(x≠ 5\))

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng 0.

7. BÀI TẬP 63 TRANG 62 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:

a) \(\dfrac{3x^2-4x-17}{x+2}\)

b) \(\dfrac{x^2-x+2}{x-3}\)

Gợi ý: 

• Để viết phân thức dưới dạng tổng của một đa thức và 1 phân thức, ta thực hiện phép tính Tử chia Mẫu .
• Để giá trị của phân thức là số nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức.

Giải:

a) Ta có: 

⇒ \(\dfrac{3x^2-4x-17}{x+2}=3x-10+\dfrac{3}{x+2}\)

Để \(\dfrac{3x^2-4x-17}{x+2}\) là số nguyên 

⇔ \(\dfrac{3}{x+2}\) là số nguyên

⇔ 3 chia hết cho (x+2)  ⇔ \(x+2∈Ư(3)\)

⇔ x+2∈{±1; ±3}

Ta có bảng sau:

Mà x cũng là số nguyên 

Do đó: x∈{-5; -3; -1; 1} thõa mãn yêu cầu đầu bài.

b) 

Tương tự câu a, ta có thể thực hiện phép tính hoặc biến đổi như sau:

\(\dfrac{x^2-x+2}{x-3}=\dfrac{x^2-3x+2x-6+8}{x-3}\)

\(=\dfrac{x(x-3)+2(x-3)+8}{x-3}\)

\(=\dfrac{(x-3)(x+2)+8}{x-3}\)

\(=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}+\dfrac{8}{x-3}\)

\(=x+2+\dfrac{8}{x-3}\)

Để \(\dfrac{x^2-x+2}{x-3}\) là số nguyên

 ⇔ \(\dfrac{8}{x-3}\) là số nguyên

⇔ 8 chia hết cho (x-3) ⇔ \(x-3∈Ư(8)\)

⇔ x-3∈{±1; ±2; ±4; ±8}

Ta có bảng sau:

Mà x cũng là số nguyên 

Do đó: x∈{-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11} thõa mãn yêu cầu đầu bài.

8. BÀI TẬP 64 TRANG 62 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Tính giá trị của phân thức trong bài 62 tại x= 1,12 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba.

Giải:

Ta có: 

\(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}=\dfrac{x-5}{x}\)

Tại x = 1,12 ta có:

\(=\dfrac{1,12-5}{1,12}≈3,464\)