I. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN \({{\log }_{a}}x=b\)

Xét phương trình logarit có dạng: \({{\log }_{a}}x=b\left( 0< a\ne 1 \right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x={{a}^{b}}\).

Ta có: \({{\log }_{a}}x=b\left( 0< a\ne 1 \right) \Leftrightarrow x={{a}^{b}}\)

II. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN

Biến đổi, quy về cùng cơ số 

Xét \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < a \ne 1}\\ {f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0} \end{array}} \right.\)

Đặt ẩn phụ

Xét \(f[\log_ag\left (x \right)=0 \left( {0 < a \ne 1} \right)\)

 \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {{\log }_a}g\left( x \right)}\\ {f\left( x \right) = 0} \end{array}} \right.\)

Mũ hóa hai vế

Xét phương trình \({\log _a}g\left( x \right) = f\left( x \right)\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {g\left( x \right) > 0}\\ {g\left( x \right) = {a^{f\left( x \right)}}} \end{array}} \right.\)

Giải bằng phương pháp đồ thị

Xét phương trình  \({{\log }_{a}}x=g\left( x \right)\left( 0< a\ne 1 \right)\left( * \right)\)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y={{\log }_{a}}x=b \left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y=f\left( x \right)\)

• Vẽ đồ thị  hai đồ thị hàm số \(y={{\log }_{a}}x=b \left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y=f\left( x \right)\)
• Kết luận nghiệm của phương trình (*) đã cho dựa trên số giao điểm của hai đồ thị.

Sử dụng đánh giá

Xét phương trình \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\)

Ta đánh giá được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) \ge m}\\ {g\left( x \right) \le m} \end{array}} \right.\)

Từ đó có được \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = m}\\ {g\left( x \right) = m} \end{array}} \right.\)

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 

Ví dụ: Giải phương trình sau:\(\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}\)

Lời giải tham khảo:

\(\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x - 5 > 0}\\ {5x > 0}\\ {\frac{1}{{5x}} > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ \begin{array}{l} x > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\ x < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2} \end{array} \right.} \end{array}\\ x > 0 \end{array} \right.} \right.\)

\(\Leftrightarrow x > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\)

\(\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}\)

\(\Leftrightarrow \log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log \left( 5x.\frac{1}{5x} \right)\)

\(\Leftrightarrow \log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 1=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-5={{10}^{0}}=1\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 3\quad (loai)}\\ {x = 2\quad (t/m)} \end{array}} \right.\)