I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN \({{a}^{x}}=b\left(a >0,a\ne 1 \right)\)

Xét phương trình mũ có dạng: \({{a}^{x}}=b\left(a >0,a\ne 1 \right)\).

Với \(b>0\): Phương trình có một nghiệm duy nhất \(a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)

Với \(b\le 0\): phương trình vô nghiệm.

II. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Biến đổi, quy về cùng cơ số 

Xét \({{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \\\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < a \ne 1}\\ {f\left( x \right) = g\left( x \right)} \end{array}} \right. \end{array} \right.\)

Đặt ẩn phụ

Xét \(f\left[ {{a^{g(x)}}} \right] = 0\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {a^{g\left( x \right)}} > 0}\\ {f\left( t \right) = 0} \end{array}} \right.\)

Các dạng phương trình thường gặp:

• \(m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{a}^{f\left( x \right)}}+p=0\)
• \(m.{{a}^{f(x)}}+n.{{b}^{f(x)}}+p=0\), trong đó \(a.b=1\). Đặt \(t={{a}^{f(x)}}.t>0 \Leftrightarrow {{b}^{f\left( x \right)}}=\frac{1}{t}\).
• \(m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( a.b \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{b}^{2f\left( x \right)}}=0\), chia hai vế cho \({{b}^{2f\left( x \right)}}\), và đặt \({{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f\left( x \right)}}=t>0\).

Logarit hóa

Xét phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < a \ne 1,b > 0}\\ {f\left( x \right) = {{\log }_a}b} \end{array}} \right.\)

Xét phương trình \({{a}^{f\left( x \right)}}={{b}^{g\left( x \right)}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {{\log }_{a}}{{a}^{f\left( x \right)}}={{\log }_{a}}{{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right).{{\log }_{a}}b \\ {{\log }_{b}}{{a}^{f\left( x \right)}}={{\log }_{b}}{{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right).{{\log }_{b}}a=g\left( x \right)\end{array} \right.\)

Giải bằng phương pháp đồ thị

Xét phương trình \({{a}^{x}}=f\left( x \right)\left(0< a\ne 1 \right)\left(*\right)\)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y={{a}^{x}}\left(0< a\ne 1 \right)\) và \(y=f\left( x \right)\)

• Vẽ đồ thị  hai đồ thị hàm số \(y={{a}^{x}}\left(0< a\ne 1 \right)\) và \(y=f\left( x \right)\)
• Kết luận nghiệm của phương trình (*) đã cho dựa trên số giao điểm của hai đồ thị.

Sử dụng đánh giá

Xét phương trình \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\)

Ta đánh giá được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) \ge m}\\ {g\left( x \right) \le m} \end{array}} \right.\)

Từ đó có được \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = m}\\ {g\left( x \right) = m} \end{array}} \right.\)

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ: Giải các phương trình sau: \({{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}\); \({{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}\); \({{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}\)

Lời giải tham khảo:

a) \({{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\cdot {{3}^{2x}}+{{3}^{2x}}=108\)

\(\Leftrightarrow \frac{4}{3}\cdot {{3}^{2x}}=108\Leftrightarrow {{3}^{2x}}=81\)

\(\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\)

b) \({{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x+7+1-2x}}=2\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{x-8}}={{2}^{1}}\Leftrightarrow x-8=1\)

\(\Leftrightarrow x=9\)

c) \({{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}\)

\(\Leftrightarrow {{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}-{{9}^{x}}=0\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({{9}^{x}}\), ta được:

\(3.\frac{{{4}^{x}}}{{{9}^{x}}}-2.\frac{{{6}^{x}}}{{{9}^{x}}}-1=0\)

\(\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}-2.{{\left( \frac{6}{9} \right)}^{x}}-1=0\)

\(\Leftrightarrow 3.{{\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}} \right]}^{2}}-2.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-1=0\)

Đặt \({{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=t\left( t>0 \right)\), ta có phương trình:

\(3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - \frac{1}{3}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0\).