I. CÁC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau.

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) cắt nhau vì chúng có 2 điểm chung là 2 điểm A, B:

Đoạn thẳng AB là dây chung của cả 2 đường tròn.
Đường thẳng O’O là đường nối tâm và đoạn thẳng O’O là đoạn nối tâm.
Hệ thức liên hệ :|R - r| < O’O < R + r.

Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc.

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) tiếp xúc vì chúng có 1 điểm chung là điểm A:

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) tiếp xúc trong tại điểm A. Khi đó điểm A nằm trên đường nối tâm và O’O = |R - r|.

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Khi đó điểm A nằm trên đường nối tâm và O’O = R + r.

Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau.

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) không giao nhau vì chúng không có điểm chung nào.

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) ở ngoài nhau: O’O > R + r.

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) ở đựng nhau: O’O < |R - r|.

Hai đường tròn (O, R) và  (O’, r) đồng tâm: O’O = 0.

Bảng tổng kết:

II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG NỐI TÂM

Đường nối tâm là trục đối xứng của hình được tạo bởi hai đường tròn, vì vậy ta có các tính chất sau đây:

• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm sẽ nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn.
• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm hay có thể hiểu là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

III. TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là những đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Lưu ý: Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn không cắt đường nối tâm còn tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn thì cắt đường nối tâm.

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ CÁC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Ví dụ: Cho hình vẽ sau đây chứng minh AC = CD.

Lời giải tham khảo:

Xét đường tròn (O’) có 3 điểm A, O, C cùng thuộc đường tròn mà OA là đường kính 

⇒ △AOC vuông tại C.

⇒ OC ⊥ AD (t/c)

Xét đường tròn (O) có A, D là hai điểm thuộc đường tròn 

⇒ OA = OD (t/c)

Xét △AOD có OA = OD (cmt)

⇒ △AOD cân tại O mà OC ⊥ AD (cmt)

⇒ OC là đường trung tuyến của △AOD

⇒ AC = CD (đpcm).