I. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

(A + B)² = A² + 2AB + B²

II. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

(A - B)² = A² - 2AB + B²

III. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

A² - B² = (A + B)(A - B)

IV. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

V. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU 

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

VI. TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG 

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)

VII. HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

VIII. HỆ QUẢ VỚI HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC 2

Với A, B, C là ba biểu thức tùy ý, ta có các hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2 là:

(A + B)² = (A - B)² + 4AB
(A - B)² = (A + B)² - 4AB
A² + B² = (A + B)² - 2AB
(A + B + C)² =  A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC
(A + B - C)² =  A² + B² + C² + 2AB - 2AC - 2BC
(A - B - C)² =  A² + B² + C² - 2AB - 2AC - 2BC

IX. HỆ QUẢ VỚI HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC 3

Với A, B, C là ba biểu thức tùy ý, ta có các hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3 là:

A³ + B³ = (A + B)³ - 3A²B - 3AB² = (A + B)³ - 3AB(A + B)
A³ - B³ = (A - B)³ + 3A²B - 3AB² = (A + B)³ + 3AB(A - B)
A³ + B³ + C³ - 3ABC = (A + B + C)(A² + B² + C² - AB - BC - CA)
(A - B)³ + (B - C)³ + (C - A)³ = 3(A - B)(B - C)(C - A)
(A + B + C)³ = A³ +  B³ + C³ + 3(A +B)(A + C)(B +C)

X. HỆ QUẢ TỔNG QUÁT

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có các công thức hệ quả tổng quát là:

XI. MỘT SỐ HỆ QUẢ KHÁC CỦA HẰNG ĐẲNG THỨC

Với A, B, C là ba biểu thức tùy ý, chúng ta còn có một số hệ quả khác của hằng đẳng thức là:

(A + B)(B +C)(A + C) - 8ABC = A(B -C)² + B(C - A)² + C(A - B)²
(A + B)(B +C)(A + C) = (A + B +C)(AB + BC + CA) - ABC

XII. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ 7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ HỆ QUẢ

Ví dụ 1: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x² – 2x + 5

Lời giải tham khảo:

Ta có : A = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)² + 4 ≥ 4 ⇔ A ≥ 4

⇒ Giá trị nhỏ nhất của A = 4

Khi đó dấu “=” xảy ra ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1.

Ví dụ 2: Với a, b, c là các số thực thỏa mãn: (3a + 3b + 3c)³ = 24 + (3a + b - c)³ + (3b + c - a)³ + (3c + a - b)³ CMR: (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 1

Lời giải tham khảo:

Đặt:

• 3a + b - c = x
• 3b + c - a = y
• 3c + a - b = z

Ta có: (3a + 3b + 3c)³ = 24 + (3a + b - c)³ + (3b + c - a)³ + (3c + a - b)³

⇔ (x + y +z)³ = 24 + x³ + y³ + z³ 

⇔ (x + y +z)³ = 24 + (x + y +z)³ - 3(x + y)(y + z)(z + x)

⇔ 24  - 3(x + y)(y + z)(z + x) = 0

⇔ 24 - 3(2a + 4b)(2b + 4c)(2c + 4a)

⇔ 24 - 24(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 0

⇔ (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 1 (đpcm)

‍