I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ BẬC HAI 

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0) trong đó a, b, c là những hằng số.

Tập xác định 

Tập xác định hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là D = R.

Chiều biến thiên

• Với a > 0: hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-\frac{b}{2a} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( -\frac{\text{b}}{2\text{a}};+\infty  \right)\) và đạt được GTNN trên R tại \(x=-\frac{b}{2a} \).
• Với a < 0: hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-\frac{b}{2a} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( -\frac{\text{b}}{2\text{a}};+\infty  \right)\) và đạt được GTLN trên R tại \(x=-\frac{b}{2a} \).

Bảng biến thiên

II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm \(\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\frac{b}{2a} \).

Bề lõm parabol hướng lên trên khi a > 0 và hướng xuống dưới khi a < 0.

III. CÁCH VẼ PARABOL THÔNG QUA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Để vẽ parabol y = ax² + bx + c (a ≠ 0) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ của đỉnh parabol: \(\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)\).

Bước 2: Xác định trục đối xứng \(x=-\frac{b}{2a} \) (đi qua đỉnh và song song với trục tung)

Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung là điểm (0; c) và trục hoành (nếu có). Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, ví dụ những điểm đối xứng với điểm (0; c) qua trục đối xứng của parabol để vẽ parabol chính xác hơn.

Bước 4: Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại và hoàn thành parabol.

Chú ý: Khi vẽ parabol y = ax² + bx + c (a ≠ 0) cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên còn a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

IV. CÁCH VẼ PARABOL BẰNG THƯỚC VÀ COMPA

Bước 1: Khảo sát các điểm thuộc Parabol (Vì Parabol là hình đối xứng nên chúng ta chỉ cần khảo sát 1 nửa hình Parabol).

Bước 2: Xác định trục đối xứng của Parabol (kẻ đường thẳng đi qua điểm F cho trước và vuông góc với đường chuẩn), gọi giao điểm là O.

Bước 3: Lấy M là trung điểm của OF, chọn một điểm \(M_1 \) bất kỳ thuộc đoạn MF, kẻ đường thẳng đi qua \(M_1 \) và song song với đường thẳng cho trước.

Bước 4: Dùng Compa, quay 1 cung có bán kính \(OM_1 \), cung và đường thẳng qua \(M_1 \) cắt nhau ở đâu, ta được 1 điểm thuộc Parabol.

Bước 5: Lấy thêm các điểm bất kỳ thuộc đoạn MF rồi làm tương tự các bước trên, nối các điểm thuộc Parabol, ta được hình Parabol hoàn chỉnh.

V. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = –x² + 4x – 4.

Lời giải tham khảo:

Xét hàm số y = –x² + 4x – 4.

• Tập xác định hàm số: R
• Đỉnh parabol: I (2; 0)
• Trục đối xứng: x = 2.
• Giao điểm parabol với trục hoành: A(2; 0).
• Giao điểm parabol với trục tung: B(0; –4).
• Điểm đối xứng với điểm B(0; –4) qua đường thẳng x = 2 là C(4; –4).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: