Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tập xác định] Hàm số lũy thừa cùng tổng hợp lại các kiến thức về hàm số lũy thừa và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA
Định nghĩa
Cho α là số thực cho trước, hàm số \(y={{x}^{\alpha }},\left( a\in \mathbb{R} \right)\) được gọi là hàm số lũy thừa.
Đạo hàm hàm số lũy thừa:
Xét hàm số \(y={{x}^{\alpha }},\left( a\in \mathbb{R} \right)\) có đạo hàm là \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).
Xét hàm hợp \(y={{u}^{\alpha }}\) có đạo hàm là \(\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}.u'\).
II. TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ LŨY THỪA
Với hàm số lũy thừa \(y={{x}^{\alpha }},\left( a\in \mathbb{R} \right)\), tập xác định của nó phụ thuộc vào giá trị của α.
- \(\alpha \in {{\mathbb{Z}}^{+}}:D=\mathbb{R}\)
- \(\left[ \begin{matrix} \alpha \in {{\mathbb{Z}}^{-}} \\ \alpha =0 \\ \end{matrix}:D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \right.\)
- \(\alpha \notin \mathbb{Z}:D=\left( 0,+\infty \right)\)
Với những hàm hợp như \(y={{u}^{\alpha }}\) thì tập xác định của nó còn phụ thuộc vào phụ thuộc vào u(x).
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ \(y={{x}^{\alpha}}\)
Chú ý:
- Đồ thị hàm số \(y={{x}^{\alpha}}\) luôn đi qua điểm (1;1).
- Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.
Với \(y={{x}^{\alpha }},\alpha >0\)
Tập xác định của hàm số: \(\left( 0;+\infty \right)\).
Sự biến thiên của hàm số: \(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}} > 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\forall x > 0.} \end{array}\).
Giới hạn đặc biệt của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0\begin{array}{*{20}{c}} ,&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{x^\alpha } = + \infty .\)
Tiệm cận của hàm số: không có.
Bảng biến thiên của hàm số:
Với \(y={{x}^{\alpha }},\alpha < 0\)
Tập xác định của hàm số: \(\left( 0;+\infty \right)\).
Sự biến thiên của hàm số: \(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}} < 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\forall x > 0.} \end{array}\).
Giới hạn đặc biệt của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty \begin{array}{*{20}{c}} ,&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{x^\alpha } = 0.\)
Tiệm cận của hàm số: Trục Ox là tiệm cận ngang, trục Oy là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên của hàm số:
IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA
Ví dụ: Tìm tập xác định các hàm số sau: \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\); \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\).
Lời giải tham khảo:
a) \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\)
Ta có: \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) xác định
\(\Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1\)\)
⇒ Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\)
b) \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\)
Ta có: \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) xác định
\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 > 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) > 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ {\rm{ }}x > 2 \end{array} \right.\)
⇒ Tập xác định của hàm số là \(D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right).\)
