I.  ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA

Định nghĩa

Cho α là số thực cho trước, hàm số \(y={{x}^{\alpha }},\left( a\in \mathbb{R} \right)\) được gọi là hàm số lũy thừa.

Đạo hàm hàm số lũy thừa:

Xét hàm số \(y={{x}^{\alpha }},\left( a\in \mathbb{R} \right)\) có đạo hàm là \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).

Xét hàm hợp \(y={{u}^{\alpha }}\) có đạo hàm là \(\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}.u'\).

II. TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ LŨY THỪA

Với hàm số lũy thừa \(y={{x}^{\alpha }},\left( a\in \mathbb{R} \right)\), tập xác định của nó phụ thuộc vào giá trị của α.

• \(\alpha \in {{\mathbb{Z}}^{+}}:D=\mathbb{R}\)
• \(\left[ \begin{matrix} \alpha \in {{\mathbb{Z}}^{-}} \\ \alpha =0 \\ \end{matrix}:D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \right.\) 
• \(\alpha \notin \mathbb{Z}:D=\left( 0,+\infty \right)\)

Với những hàm hợp như \(y={{u}^{\alpha }}\) thì tập xác định của nó còn phụ thuộc vào phụ thuộc vào u(x).

III. KHẢO SÁT HÀM SỐ \(y={{x}^{\alpha}}\) 

Chú ý: 

• Đồ thị hàm số \(y={{x}^{\alpha}}\) luôn đi qua điểm (1;1).
• Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Với \(y={{x}^{\alpha }},\alpha >0\)

Tập xác định của hàm số: \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Sự biến thiên của hàm số: \(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}} > 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\forall x > 0.} \end{array}\).

Giới hạn đặc biệt của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0\begin{array}{*{20}{c}} ,&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{x^\alpha } = + \infty .\)

Tiệm cận của hàm số: không có.

Bảng biến thiên của hàm số:

Với \(y={{x}^{\alpha }},\alpha < 0\)

Tập xác định của hàm số: \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Sự biến thiên của hàm số: \(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}} < 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\forall x > 0.} \end{array}\).

Giới hạn đặc biệt của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty \begin{array}{*{20}{c}} ,&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{x^\alpha } = 0.\)

Tiệm cận của hàm số: Trục Ox là tiệm cận ngang, trục Oy là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên của hàm số:

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA

Ví dụ: Tìm tập xác định các hàm số sau: \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\); \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\).

Lời giải tham khảo:

a) \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\)

Ta có:  \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) xác định 

 \(\Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1\)\)

⇒ Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\)

b) \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\)

Ta có: \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) xác định 

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 > 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) > 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ {\rm{ }}x > 2 \end{array} \right.\)

⇒ Tập xác định của hàm số là \(D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right).\)