Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Quy tắc tìm] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cùng tổng hợp lại các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng
I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập D, ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:
\(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \le M,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M \end{array} \right.\).
Kí hiệu: \(M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f(x)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:
\(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge m,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m \end{array} \right.\).
Kí hiệu: \(m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f(x)\).
II. QUY TẮC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập D:
Bước 1: Tính f′(x) và tìm các điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\) mà tại đó f′(x)=0 hoặc hàm số không có đạo hàm.
Bước 2: Lập bảng biến thiên cho hàm số và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b], xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]:
Bước 1: Tính f′(x) và tìm các điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\) mà tại đó f′(x)=0 hoặc hàm số không có đạo hàm.
Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right).\).
Bước 3: Khi đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b] thuộc các giá trị vừa tính trên:
- \(\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=\text{max}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\).
- \(\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left( x \right)=\text{min}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\).
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn (a; b), xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn (a; b):
Bước 1: Tính f′(x) và tìm các điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\) mà tại đó f′(x)=0 hoặc hàm số không có đạo hàm sao cho \(a\le x_1 < x_2 <...< x_n \le b\).
Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right).\) và \(A=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}f\left( x \right),\ B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\text{lim}}}f\left( x \right)\).
Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được và kết luận:
- Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị vừa tính được ở trên là A hoặc B thì kết luận được hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng (a; b).
- Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là \(f(x_i),i\in \{1;2;...;n \}\) thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) là \(f(x_i)\) khi \(x=x_i\).
III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\) trên khoảng \(\left[ -4;4 \right]\).
Lời giải tham khảo:
\(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\)
Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x-9\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}} = -1}\\ {x = 3 } \end{array}} \right.\)
Khi đó: y(−1) = 40; y(3) = 8.
Xét hàm số trên [−4; 4] ta có: y(−4) = −41; y(4) = 15.
\(\Rightarrow \underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( -4 \right)=-41;\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( -1 \right)=40\).
